💡 試題詳細解析說明

Q1 解析

• 出題目的： 測試你有沒有看懂矩陣的「名牌」（大小定義）。
• 白話解說： 橫的叫列，直的叫行。這個矩陣有 2 個橫排、3 個直排，所以叫做 2 × 3 矩陣。先報橫的，再報直的，不能記反喔！
• 正確答案： (B)

Q2 解析

• 出題目的： 測試矩陣最基礎的加法。
• 白話解說： 就像找座位一樣，住在同一個位置的數字直接加起來。左上角：2 + 1 = 3；右上角：-1 + 5 = 4；左下角：3 + (-2) = 1；右下角：4 + 0 = 4。拼起來就是 [[3, 4], [1, 4]]。
• 正確答案： (A)

Q3 解析

• 出題目的： 測試矩陣的放大縮小（係數積）。
• 白話解說： 矩陣外面的 3，代表裡面所有的數字都要乘以 3，每個人都有份，不能偏心！所以答案是 [[3×3, -2×3], [1×3, 4×3]] = [[9, -6], [3, 12]]。
• 正確答案： (C)

Q4 解析

• 出題目的： 結合減法來解未知的數字。
• 白話解說： 看左上角：x - 2 = 4，所以 x = 6。看右下角：y - 4 = 1，所以 y = 5。題目問 x + y，就是 6 + 5 = 11。
• 正確答案： (C)

Q5 解析

• 出題目的： 測試你知不知道兩個矩陣什麼時候「有資格」相乘。
• 白話解說： 兩個矩陣要相乘，前面矩陣的寬度（直排數）必須和後面矩陣的高度（橫排數）一樣。我們看 (D) 選項的 AC：A 是 3 × 2，C 是 4 × 3。中間的數字是 2 和 4，長度對不上，就像螺絲和螺帽套不起來，所以無法相乘！
• 正確答案： (D)

Q6 解析

• 出題目的： 訓練矩陣乘法最核心的「橫直配對相乘」。
• 白話解說： 題目要找左上角的位置，就要拿前面矩陣的「第一橫排」 [1, 2]，配上後面矩陣的「第一直排」 [5, 0]（直立）。對應相乘再加起來：1 × 5 + 2 × 0 = 5 + 0 = 5。
• 正確答案： (A)

Q7 解析

• 出題目的： 完整練習二階矩陣的乘法。
• 白話解說： 照著「前橫乘後直」的規則把四個位置算出來：
  左上：1×5 + 2×0 = 5
  右上：1×6 + 2×1 = 8
  左下：3×5 + 4×0 = 15
  右下：3×6 + 4×1 = 22
  組裝起來就是 [[5, 8], [15, 22]]。
• 正確答案： (B)

Q8 解析

• 出題目的： 導正觀念，矩陣乘法跟普通數字乘法不一樣。
• 白話解說： 在矩陣世界裡，A × B 和 B × A 算出來的答案通常不一樣（順序很重要）。因為順序不能對調，所以平常我們用的公式如 (A+B)² = A² + AB + BA + B² 就不能簡化成 2AB。只有 (D) 的結合律（先乘後面或先乘前面）是一定對的。
• 正確答案： (D)

Q9 解析

• 出題目的： 認識矩陣界的數字「1」（單位矩陣）。
• 白話解說： 單位矩陣 I 就像數字裡面的 1。任何矩陣乘以 I 都還是原本的自己。所以 A × I = A，I × A = A。那 A - A 當然就變成全身都是 0 的空矩陣囉！
• 正確答案： (C)

Q10 解析

• 出題目的： 練習行列式值的基本計算公式。
• 白話解說： 口訣是「左上乘右下，減掉，右上乘左下」。所以算式是：(3 × 5) - (4 × 2) = 15 - 8 = 7。
• 正確答案： (B)

Q11 解析

• 出題目的： 測試負數出現時，行列式值會不會粗心算錯。
• 白話解說： 同樣用口訣：「左上乘右下，減掉，右上乘左下」。算式：2 × (-1) - [(-3) × 4] = -2 - (-12) = -2 + 12 = 10。負負得正要小心！
• 正確答案： (A)

Q12 解析

• 出題目的： 了解什麼時候矩陣會失去「反矩陣」的超能力。
• 白話解說： 一個矩陣如果沒有反矩陣，代表它的行列式值 det(A) 算出來必須是 0。算式：k × 6 - 3 × 2 = 0 → 6k - 6 = 0，所以 k = 1。
• 正確答案： (A)

Q13 解析

• 出題目的： 練習最經典的反矩陣求法。
• 白話解說：
  1. 先算分母（行列式）：3 × 2 - 5 × 1 = 6 - 5 = 1。分母是 1 就不影響數字。
  2. 矩陣大變身：左上和右下互換位置（3 和 2 換位置變成 2 和 3），右上和左下不換位置但要加負號（5 變 -5，1 變 -1）。變身完長這樣：[[2, -5], [-1, 3]]。
• 正確答案： (A)

Q14 解析

• 出題目的： 練習分母不是 1 的反矩陣。
• 白話解說：
  1. 先算行列式值：4 × 3 - 2 × 5 = 12 - 10 = 2。所以外面要乘上 1/2。
  2. 裡面變身：4 和 3 對調，2 和 5 變負號，得到 [[3, -2], [-5, 4]]。
  3. 合起來就是 1/2 * [[3, -2], [-5, 4]]。
• 正確答案： (B)

Q15 解析

• 出題目的： 理解反矩陣「神奇橡皮擦」的相反概念。
• 白話解說： A⁻¹ 是把 A 做過的事情倒轉復原。那把「倒轉復原」這件事再倒轉一次，不就又回到本來的 A 了嗎？負負得正的概念！
• 正確答案： (B)

Q16 解析

• 出題目的： 利用反矩陣的定義來解矩陣方程式。
• 白話解說： 題目說 A × X = I（單位矩陣），根據定義，能和 A 相乘後變成 I 的，那個 X 一定就是 A 的反矩陣 A⁻¹！所以這題其實是在考你求 A 的反矩陣。行列式為 2×3 - 1×5 = 1。內部變身後得到 [[3, -1], [-5, 2]]。
• 正確答案： (A)

Q17 解析

• 出題目的： 學習怎麼把普通的 X 和 Y 方程式包裝成矩陣。
• 白話解說： 把 x 和 y 前面的數字照原本的位置排好。第一排是 2 和 -3，第二排是 4 和 5。所以矩陣就是 [[2, -3], [4, 5]]。題目要問四個數字加起來：2 + (-3) + 4 + 5 = 8。
• 正確答案： (B)

Q18 解析

• 出題目的： 觀察矩陣連續相乘的規律。
• 白話解說： 我們自己乘乘看：A² = [[1, 2], [0, 1]] × [[1, 2], [0, 1]] = [[1, 4], [0, 1]]。
  再乘一次：A³ = A² × A = [[1, 4], [0, 1]] × [[1, 2], [0, 1]] = [[1, 6], [0, 1]]。
  發現規律了嗎？右上角的數字會隨著次方用加法變大（2 × 次方）！
• 正確答案： (B)

Q19 解析

• 出題目的： 結合行列式與聯立方程組解的幾何意義。
• 白話解說： 行列式值為 0 代表這兩條方程式在圖形上是「平行線」或「重合線（同一條線）」。題目說有「無限多組解」，代表它們其實是同一條線。我們看第一條：2x + 4y = 6，把它除以 2 就會變成 x + 2y = 3。對照第二條 x + 2y = k，很明顯 k 就要等於 3 才會完全一模一樣。
• 正確答案： (A)

Q20 解析

• 出題目的： 學會利用反矩陣把被變換的點「還原」。
• 白話解說： 既然 A × [x, y] = [1, 4]，那我們只要在等號兩邊左乘 A 的反矩陣 A⁻¹，就可以把左邊的 A 消掉，算出原本的 x 和 y。
  A 的行列式值 = 1×7 - 2×3 = 1。
  A⁻¹ = [[7, -2], [-3, 1]]。
  還原原本的點：[[7, -2], [-3, 1]] × [1, 4] = [7×1 + (-2)×4, -3×1 + 1×4] = [-1, 1]。
  所以原本的 x = -1。
• 正確答案： (A)