數學學測重點：矩陣與反矩陣（小學生也能懂版）

💡 矩陣聽起來很高級，其實它就是一個「數字的排隊遊戲」！

1. 什麼是矩陣？（數字的排隊陣型）

把一堆數字用大括號括起來，排成整齊的橫排和直排，就叫做矩陣。

列（Row）： 橫著看叫「列」（像火車的車廂）。
行（Column）： 直著看叫「行」（像直立的柱子）。
矩陣的階（大小）： 如果一個矩陣有 2 橫排、3 直排，我們就叫它 2 × 3 矩陣。

2. 矩陣的加減法與係數積（同伴才能加減，放大縮小一起來）

加減法： 只有大小完全一樣的矩陣才能加減。玩法很簡單：住在同一個位置的數字直接加或減。
係數積（乘上一個數字）： 把矩陣外面的數字，發給裡面的每一個數字。例如：

2 ×
[
1
2
3
4
]
=
[
2
4
6
8
]

3. 矩陣的乘法（最容易踩雷的「橫直配對法」）

矩陣乘法不是把對應位置相乘，它是「前列乘後行」！

密碼鎖規則（能否相乘）： 前面矩陣的「直排數」必須等於後面矩陣的「橫排數」，兩者才能相乘。例如：(2 × 3) 矩陣可以乘以 (3 × 4) 矩陣，乘完會變成 (2 × 4) 矩陣。
怎麼乘： 前面矩陣拿「橫的一整排」，後面矩陣拿「直的一整排」，對應的數字相乘後全部加起來。

⚠️ 注意：矩陣乘法順序不能隨便換！A × B 通常不等於 B × A。

4. 單位矩陣 I（矩陣界的數字「1」）

長得像這樣： I =

[

]

（左上到右下的對角線都是 1，其他都是 0）。

任何矩陣乘以它，都會維持原樣不變。例如：A × I = A。

5. 行列式值 det(A)（決定有沒有超能力的鑰匙）

對於一個二階矩陣 A =

[

]

，它的行列式值記作 det(A) = ad - bc（左上乘右下，減去，右上乘左下）。

這個數字非常重要，如果它算出來是 0，代表這個矩陣沒有反矩陣。

6. 反矩陣 A^-1（時間倒流的「神奇橡皮擦」）

矩陣世界裡沒有「除法」，所以我們用「反矩陣」來代替。

定義： 矩陣 A 乘以它的反矩陣 A^-1，就會變成單位矩陣 I（也就是 A × A^-1 = I）。
二階反矩陣公式：
如果 A =
[
a
b
c
d
]
，且 det(A) = ad - bc ≠ 0：

A^-1 =
1ad - bc

[
d
-b
-c
a
]

💡 口訣：

分母放「左上乘右下減右上乘左下」。
矩陣內部：「主對角線互換位置（a, d 互換），副對角線加負號（b, c 變號）」。

7. 二元一次聯立方程組（用矩陣解 X 和 Y）

方程組

{

ax + by = e

cx + dy = f

可以寫成矩陣形式：

[

]

[

]

[

]

只要把最前面的矩陣移到右邊變成「反矩陣」，就可以直接算出 x 和 y 了！