Final Project / 1760535950531_image.png 在我的研究中,為了要實現具有“ISI效應”和“雜訊”的完整接收訊號,所以使用linear convolution計算訊號延遲,幫我用html寫出完整的latex數學式 解析數學公式並準備用 HTML 轉換 LaTeX 數學式 12s 根據您的圖片，我將幫您用 HTML 格式寫出完整的 LaTeX 數學式。這是實現具有 ISI 效應和雜訊的完整接收訊號模型： html 完整通道模型 - ISI效應接收訊號

2.3.4 完整通道模型

基頻接收訊號 [Oliari 2024, Eq. 4 改良]

連續時間域接收訊號：

$$y(t) = \sum_{i=1}^{K} a_i \cdot x(t - \tau_i(t)) \cdot e^{-j2\pi f_{d,i} t}$$

取樣後的離散訊號（第 $m$ 個感測符號的第 $k$ 個樣本）：

$$y[k,m] = \sum_{i=1}^{K} a_i \cdot x[k - c_i, m] \cdot e^{-j2\pi \frac{v_i m}{N_{\text{sym}}}}$$

其中：

參數定義
ISI 效應實現

為了實現具有符號間干擾（ISI）效應的完整接收訊號， 使用線性卷積（Linear Convolution）而非循環卷積來計算訊號延遲：

注意：當延遲 $c_i > P$（循環前綴長度）時，會產生ISI效應， 影響相鄰OFDM符號。線性卷積可以正確模擬這種跨符號的干擾。
含雜訊的完整接收訊號
$$y[k,m] = \sum_{i=1}^{K} a_i \cdot x[k - c_i, m] \cdot e^{-j2\pi \frac{v_i m}{N_{\text{sym}}}} + n[k,m]$$

其中 $n[k,m] \sim \mathcal{CN}(0, \sigma^2)$ 為加性白高斯雜訊（AWGN）

MATLAB 實作關鍵
% 使用線性卷積實現延遲（非循環卷積）
for i = 1:K
    % 線性卷積實現延遲
    delayed_signal = conv(x(:,m), delta(c_i));
    
    % 應用都卜勒相移
    doppler_shift = exp(-1j*2*pi*v_i*m/N_sym);
    
    % 累加到接收訊號
    y(:,m) = y(:,m) + a_i * delayed_signal * doppler_shift;
end

% 加入雜訊
y = y + noise;
這個 HTML 文件包含了： 完整的數學公式： 連續時間域接收訊號 離散時間域接收訊號（取樣後） 參數範圍定義 ISI 效應說明： 強調使用線性卷積而非循環卷積 說明當延遲超過 CP 長度時產生的 ISI 完整參數定義： 所有變數的物理意義 索引範圍 實作提示： MATLAB 程式碼片段 關鍵實作概念 視覺呈現： 使用 MathJax 3 渲染 LaTeX 公式 清晰的版面配置 顏色標記重要部分 您可以直接將這個 HTML 儲存為檔案並在瀏覽器中開啟，就能看到完整渲染的數學公式。如果需要調整公式或增加更多內容，請告訴我！ 如果是包含雜訊的連續時間接收訊號是這樣嗎？ y{\left(t\right)}=\sum_{i=1}^{K}a_i\cdot x\itimes\left(t-\tau_i{\left(t\right)}\right)\cdot e^{-j\itimes2\itimes\pi\itimes f_{d,i}\itimes t}+n(t) Verified signal formula and corrected mathematical notation. 是的，您的理解完全正確！包含雜訊的連續時間接收訊號確實是這樣。讓我幫您整理成正確的 LaTeX 格式： 包含雜訊的連續時間接收訊號 正確的數學表達式： y ( t ) = ∑ i = 1 K a i ⋅ x ( t − τ i ( t ) ) ⋅ e − j 2 π f d , i t + n ( t ) y(t)= i=1 ∑ K ​ a i ​ ⋅x(t−τ i ​ (t))⋅e −j2πf d,i ​ t +n(t) 其中： n ( t ) n(t) 是加性白高斯雜訊（AWGN） 在連續時間域中， n ( t ) n(t) 是一個複數高斯隨機過程 其統計特性為： n ( t ) ∼ C N ( 0 , N 0 ) n(t)∼CN(0,N 0 ​ ) N 0 N 0 ​ 是單邊雜訊功率譜密度 完整的訊號模型層次 讓我用 HTML 展示完整的訊號模型，從連續到離散的轉換： html 完整 JCAS 訊號模型：從連續到離散

完整 NR V2X ISAC 訊號模型

📡 階段 1：理想連續時間接收訊號（無雜訊）
$$y_{\text{ideal}}(t) = \sum_{i=1}^{K} a_i \cdot x(t - \tau_i(t)) \cdot e^{-j2\pi f_{d,i} t}$$
特性：
⬇
📡 階段 2：實際連續時間接收訊號（含雜訊）
$$y(t) = \sum_{i=1}^{K} a_i \cdot x(t - \tau_i(t)) \cdot e^{-j2\pi f_{d,i} t} + \color{red}{n(t)}$$
雜訊特性：
⬇
💻 階段 3：取樣後的離散時間訊號
$$y[k,m] = \sum_{i=1}^{K} a_i \cdot x[k - c_i, m] \cdot e^{-j2\pi \frac{v_i m}{N_{\text{sym}}}} + \color{red}{n[k,m]}$$
離散化參數：

⚠️ 關鍵實作考量：ISI 效應

為什麼使用線性卷積？

  1. 當 $c_i > P$ (CP長度)：訊號延遲超出循環前綴保護範圍
  2. 產生 符號間干擾（ISI）：前一個符號的尾部會影響下一個符號
  3. 線性卷積可以正確建模這種跨符號邊界的干擾
  4. 循環卷積會錯誤地將超出部分摺疊回當前符號
📊 訊噪比（SNR）定義
$$\text{SNR} = \frac{\mathbb{E}[|y_{\text{signal}}|^2]}{\mathbb{E}[|n|^2]} = \frac{\sum_{i=1}^{K} |a_i|^2 \cdot P_x}{\sigma^2}$$
其中 $P_x$ 是傳送訊號功率，$\sigma^2$ 是雜訊變異數
💻 MATLAB 實作範例
% 完整接收訊號模型實作
function y = generate_received_signal(x, K, delays, dopplers, amplitudes, sigma)
    [N_c, N_sym] = size(x);
    y = zeros(N_c, N_sym);
    
    % 多目標回波疊加
    for i = 1:K
        for m = 1:N_sym
            % 線性卷積實現延遲（保留ISI效應）
            if delays(i) <= N_c
                % 延遲在符號內
                y_delayed = circshift(x(:,m), delays(i));
            else
                % 延遲跨越符號邊界（ISI）
                y_delayed = linear_convolution_isi(x, m, delays(i));
            end
            
            % 應用都卜勒相移
            doppler_phase = exp(-1j*2*pi*dopplers(i)*m/N_sym);
            
            % 累加到接收訊號
            y(:,m) = y(:,m) + amplitudes(i) * y_delayed * doppler_phase;
        end
    end
    
    % 加入AWGN雜訊
    noise = sqrt(sigma^2/2) * (randn(N_c, N_sym) + 1j*randn(N_c, N_sym));
    y = y + noise;
end
重點總結 您的公式 完全正確！包含雜訊的連續時間接收訊號確實是： y ( t ) = ∑ i = 1 K a i ⋅ x ( t − τ i ( t ) ) ⋅ e − j 2 π f d , i t + n ( t ) y(t)= i=1 ∑ K ​ a i ​ ⋅x(t−τ i ​ (t))⋅e −j2πf d,i ​ t +n(t) 這個公式正確地描述了： 多目標回波： ∑ i = 1 K ∑ i=1 K ​ 路徑衰減： a i a i ​ 時間延遲： τ i ( t ) τ i ​ (t) 都卜勒頻移： e − j 2 π f d , i t e −j2πf d,i ​ t 加性雜訊： n ( t ) n(t) 這是 JCAS 系統中最基本且重要的訊號模型！ 1760543170357_image.png 1760543181763_image.png 我需要你幫我用生成html生成TX Transmitter的架構圖和論文說明，數學式要用Latex格式 解析OFDM發射機架構，準備生成互動式HTML文檔 我將為您創建一個完整的HTML頁面，包含OFDM JCAS發射機的架構圖和論文說明： 2 steps 將HTML檔案複製到輸出目錄 準備提供檔案連結給用戶。 我已經為您創建了一個完整的 OFDM JCAS 發射機架構圖和論文說明的 HTML 文件。這個文件包含了： 📊 主要特點： 1. 互動式架構圖 使用 SVG 繪製的精確架構圖 點擊每個方塊可以查看詳細說明 包含所有信號標記（s[q], x[k], x(t), x_TX(t)等） 2. 完整的數學公式（LaTeX格式） 發射信號公式： x TX ( t ) = x ( t ) e j 2 π f c t x TX ​ (t)=x(t)e j2πf c ​ t IFFT 公式： x [ n ] = 1 N c ∑ k = 0 N c − 1 s [ k ] ⋅ e j 2 π k n N c x[n]= N c ​ 1 ​ ∑ k=0 N c ​ −1 ​ s[k]⋅e j2π N c ​ kn ​ 循環前綴公式 所有公式都使用 MathJax 渲染 3. 詳細的論文說明 完整的 OFDM 發射機工作流程描述 7個處理步驟的詳細解釋 關鍵參數表（包含典型數值） JCAS 系統應用說明 4. 視覺設計 專業的學術風格排版 漸變色背景和陰影效果 響應式設計（適應不同螢幕尺寸） 互動式信息提示框 5. 架構圖元素 QAM 調變模組 串並/並串轉換 IFFT 變換 循環前綴（CP）添加 數位類比轉換器（DAC） 載波調變（ e j 2 π f c t e j2πf c ​ t ） 天線符號 查看 OFDM JCAS Transmitter HTML 您可以直接在瀏覽器中打開這個 HTML 文件，所有的數學公式都會自動渲染成漂亮的格式。點擊架構圖中的各個方塊還能看到詳細的功能說明！ Ofdm jcas transmitter Code · HTML You’re almost out of usage - your limits will reset at 10:00 AM Upgrade Ofdm jcas transmitter · HTML Download OFDM JCAS Transmitter Architecture

OFDM JCAS Transmitter Architecture

Orthogonal Frequency Division Multiplexing for Joint Communication and Sensing System

0, 1, 1, ... QAM Modulation s[q] Serial to Parallel s[0] s[Nc - 1] IFFT x[0] x[Nc - 2] x[k] Parallel to Serial Add CP DAC ej2πfct x(t) xTX(t) ⋮ ⋮
Fig. 1. Schematic of the OFDM transmission used in the JCAS system. DAC: digital-to-analog converter.

A. OFDM JCAS Transmitter

The block diagram of the OFDM transmitter considered in this article can be seen in Fig. 1. As shown in Fig. 1, input bits are modulated into quadrature amplitude modulation (QAM) symbols $s[q]$. The symbol stream is converted from serial-to-parallel, where the number of parallel symbols is equal to $N_c$. These $N_c$ complex symbols represent the subcarriers of the OFDM symbol, which are used as the input of an IFFT.

The output of this IFFT represents the OFDM samples $x[k]$, which are converted back from parallel to serial. A CP of length $P$ is added to the resulting samples, constructing an OFDM symbol of length $N_c + P$. The OFDM signal is digital-to-analog converted into the baseband signal $x(t)$. Afterward, this signal is quadrature modulated into the carrier frequency $f_c$, resulting in the transmitted signal

(1) $$x_{\text{TX}}(t) = x(t) e^{j2\pi f_c t}$$

Processing Steps

  1. QAM Modulation: 二進制數據流被映射到複數QAM星座點 $s[q]$
  2. Serial-to-Parallel Conversion: 將串列符號流轉換為 $N_c$ 個並行子載波符號
  3. IFFT Operation: 執行 $N_c$ 點 IFFT，將頻域符號轉換為時域樣本 $x[k]$
  4. Parallel-to-Serial Conversion: 將並行IFFT輸出轉換回串列形式
  5. Cyclic Prefix Addition: 添加長度為 $P$ 的循環前綴，形成長度為 $N_c + P$ 的OFDM符號
  6. Digital-to-Analog Conversion: 將數位訊號轉換為類比基頻訊號 $x(t)$
  7. Carrier Modulation: 將基頻訊號調變到載波頻率 $f_c$，產生發射訊號 $x_{\text{TX}}(t)$

Key Parameters

Parameter Symbol Description Typical Value
Subcarriers $N_c$ Number of subcarriers 512
CP Length $P$ Cyclic prefix length 36
Symbol Length $N_c + P$ Total OFDM symbol length 548
Carrier Frequency $f_c$ RF carrier frequency 5.9 GHz (V2X)
Modulation QAM Modulation scheme 16-QAM, 64-QAM

Mathematical Formulation

OFDM Time-Domain Signal

The baseband OFDM signal after IFFT can be expressed as:

(2) $$x[n] = \frac{1}{N_c} \sum_{k=0}^{N_c-1} s[k] \cdot e^{j2\pi \frac{kn}{N_c}}, \quad n = 0, 1, \ldots, N_c - 1$$

After adding the cyclic prefix, the transmitted samples become:

(3) $$x_{\text{CP}}[n] = \begin{cases} x[N_c - P + n], & n = 0, 1, \ldots, P-1 \\ x[n - P], & n = P, P+1, \ldots, N_c + P - 1 \end{cases}$$
Continuous-Time Transmitted Signal

After DAC and carrier modulation, the transmitted RF signal is:

(4) $$x_{\text{TX}}(t) = \text{Re}\left\{ x(t) \cdot e^{j2\pi f_c t} \right\}$$

where $x(t)$ is the continuous-time baseband signal obtained from the DAC output.

JCAS System Application

In the context of Joint Communication and Sensing (JCAS) systems, the OFDM transmitter serves dual purposes:

  • Communication: Carries information bits for data transmission to other vehicles or infrastructure
  • Sensing: Acts as a radar waveform for detecting and tracking targets in the environment

The cyclic prefix plays a crucial role in both functions:

  • For communication: Eliminates inter-symbol interference (ISI) in multipath channels
  • For sensing: Provides range resolution and helps in delay estimation

Claude