在 OFDM 雷達系統中，傳統的頻域處理方法（如 2D-FFT）在以下情境會失效：
本研究提出的 MP-OSIC（Matching Pursuit with Ordered Successive Interference Cancellation） 方法結合兩種技術：
| 技術 | 用途 | 參考文獻 |
|---|---|---|
| MP（匹配追蹤） | 逐一檢測目標位置與幅度 | Oliari et al. [15] 的時域方法 |
| OSIC（有序連續干擾消除） | 依序移除已檢測目標的干擾 | Chang & Guo [21] 的 Modified OSIC |
考慮一個基站端的聯合通訊與感測（JCAS）系統，其中：
| 符號 | 定義 | 典型值（5G NR） |
|---|---|---|
| \(N_c\) | 子載波數量 | 512 或 1024 |
| \(P\) | 循環前綴長度（樣本數） | 36 |
| \(\Delta f\) | 子載波間距 | 480 kHz |
| \(f_c\) | 載波頻率 | 26 GHz |
| \(T_s\) | 取樣週期 | \(1/(N_c \cdot \Delta f)\) |
| \(T_{\text{sym}}\) | OFDM 符號週期 | \((N_c + P) \cdot T_s\) |
考慮 \(K\) 個雷達目標的場景，第 \(i\) 個目標具有以下參數：
目標 \(i\) 的距離為 \(d_i\)，對應的通道延遲 [Oliari 2024, Eq. 2]
$$ \tau_i(t) = \frac{2(d_i + v_i t)}{c} $$其中：
離散化假設：初始延遲 \(\tau_i = \tau_i(0)\) 為取樣週期的整數倍：
對應的距離解析度：
$$ \Delta d = \frac{c \cdot T_s}{2} = \frac{c}{2 N_c \Delta f} \approx 0.61 \text{ m} \quad (\text{當 } N_c=512, \Delta f=480 \text{ kHz}) $$目標 \(i\) 的徑向速度 \(v_i\) 造成的都卜勒頻移 [Oliari 2024, Eq. 4]
$$ f_i = \frac{2 v_i f_c}{c} $$離散化假設：都卜勒頻率為速度解析度的整數倍：
$$ f_i = \frac{p_i}{N_{\text{sym}} T_{\text{SRI}}}, \quad p_i \in \mathbb{Z} $$其中 \(T_{\text{SRI}}\) 為感測符號重複間隔，對應的速度解析度：
$$ \Delta v = \frac{c}{2 f_c N_{\text{sym}} T_{\text{SRI}}} \approx 0.68 \text{ m/s} \quad (\text{當 } N_{\text{sym}}=256, T_{\text{SRI}} \approx 36 \, \mu\text{s}) $$雷達方程式（自由空間傳播）[代碼 Line 104-105]
$$ a_i' = \sqrt{\frac{G_t G_r \lambda^2 \sigma_i}{(4\pi)^3 d_i^4}} \cdot e^{-j 2\pi f_c \frac{2d_i}{c}} $$其中：
簡化表示：
$$ a_i = a_i' \cdot e^{-j 2\pi f_c \frac{2d_i}{c}} $$基頻接收訊號 [Oliari 2024, Eq. 4 改良]
$$ y(t) = \sum_{i=1}^{K} a_i \cdot x(t - \tau_i(t)) \cdot e^{-j 2\pi f_i t} + Noise $$取樣後的離散訊號（第 \(m\) 個感測符號的第 \(k\) 個樣本）：
$$ y[k, m] = \sum_{i=1}^{K} a_i \cdot x[k - c_i, m] \cdot e^{-j 2\pi \frac{m p_i}{N_{\text{sym}}}} + Noise $$其中 \(k \in \{0, \ldots, N_c-1\}\)，\(m \in \{0, \ldots, N_{\text{sym}}-1\}\)
步驟 1：頻域調變符號
$$ s[q, m], \quad q \in \{0, 1, \ldots, N_c-1\} $$其中 \(s[q, m]\) 為第 \(m\) 個 OFDM 符號的第 \(q\) 個子載波的 QAM 符號
步驟 2：IFFT 轉時域
$$ x[k, m] = \text{IFFT}\{s[q, m]\} = \frac{1}{N_c} \sum_{q=0}^{N_c-1} s[q, m] \cdot e^{j 2\pi \frac{kq}{N_c}} $$步驟 3：加入循環前綴
$$ x_{\text{CP}}[n, m] = \begin{cases} x[N_c + n - P, m], & n \in \{0, \ldots, P-1\} \\ x[n - P, m], & n \in \{P, \ldots, N_c+P-1\} \end{cases} $$移除循環前綴後的接收訊號（向量形式）：
$$ \mathbf{y}[m] = \begin{bmatrix} y[0, m] \\ y[1, m] \\ \vdots \\ y[N_c-1, m] \end{bmatrix} \in \mathbb{C}^{N_c \times 1} $$這是連接接收訊號與通道估計的核心橋樑，也是 MP-OSIC 方法的基礎。
對於給定的最大延遲 \(L-1\)（\(L \leq N_c\)），接收訊號可表示為 [Oliari 2024, Eq. 13]
$$ \mathbf{y}[m] = \mathbf{X}[m] \cdot \mathbf{h}[m] $$其中：
感測矩陣 \(\mathbf{X}[m]\) 為 Toeplitz 結構 [Oliari 2024, Eq. 14; 你的代碼方法二]
$$ \mathbf{X}[m] = \begin{bmatrix} x[0, m] & x[-1, m] & \cdots & x[-L+1, m] \\ x[1, m] & x[0, m] & \cdots & x[-L+2, m] \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x[N_c-1, m] & x[N_c-2, m] & \cdots & x[N_c-L, m] \end{bmatrix} $$關鍵：負索引 \(x[-k, m]\) 的處理取決於延遲是否超過 CP
第 \(l\) 列（\(l \in \{1, 2, \ldots, L\}\)）的構建 [你的代碼 Line 40-84]
情況 1：\(l \leq P+1\)（延遲在 CP 範圍內）
$$ \mathbf{X}_{:,l}[m] = \begin{bmatrix} x[N_c - l + 1 + P, m] \\ \vdots \\ x[N_c - 1, m] \\ x[0, m] \\ \vdots \\ x[N_c - l, m] \end{bmatrix} \leftarrow \text{全部來自當前符號} $$此時 \(x[-k, m]\) 使用循環特性：
$$ x[-k, m] = x[N_c + P - k, m] = x_{\text{CP}}[P - k, m] $$情況 2：\(l > P+1\)（延遲超過 CP，產生 ISI）
$$ \mathbf{X}_{:,l}[m] = \begin{bmatrix} z[N_c - (l-P-1) + 1, m] \\ \vdots \\ z[N_c - 1, m] \\ x[0, m] \\ \vdots \\ x[N_c - l, m] \end{bmatrix} \leftarrow \begin{matrix} \text{來自前一符號} \\ \mathbf{z}[m] \\ \\ \text{來自當前符號} \end{matrix} $$其中 \(\mathbf{z}[m]\) 為前一個 OFDM 符號（可能不是感測符號）
通道向量 \(\mathbf{h}[m]\) 為稀疏向量 [Oliari 2024, Eq. 16]
$$ \mathbf{h}[m] = \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ a_i e^{-j 2\pi \frac{m p_i}{N_{\text{sym}}}} \\ 0 \\ \vdots \\ a_j e^{-j 2\pi \frac{m p_j}{N_{\text{sym}}}} \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} \leftarrow \begin{matrix} \\ \\ \text{第 } c_i \text{ 位置} \\ \\ \\ \text{第 } c_j \text{ 位置} \\ \\ \\ \end{matrix} $$例：若 \(K=2\)，\(c_1=2\)，\(c_2=4\)，則
$$ \mathbf{h}[m] = [0, 0, a_1 e^{-j 2\pi \frac{m p_1}{N_{\text{sym}}}}, 0, a_2 e^{-j 2\pi \frac{m p_2}{N_{\text{sym}}}}, 0, \ldots, 0]^T $$| 方法 | 最大可測距離公式 | 數值範例 |
|---|---|---|
| 傳統 OFDM 雷達 | \(d_{\text{CP}} = \frac{c P}{2 N_c \Delta f}\) | \(\approx 22\) m |
| 本文方法 | \(d_u = \frac{c}{2 \Delta f}\) | \(\approx 312\) m |
| 改善倍數 | ≈ 14 倍 | |
推導：傳統方法受 CP 限制 [Oliari 2024, Eq. 22]
$$ c_{\max} \leq P \quad \Rightarrow \quad d_{\max} = \frac{c \cdot c_{\max} \cdot T_s}{2} = \frac{c P}{2 N_c \Delta f} $$本文方法可測量到 \(c_{\max} = N_c - 1\)：
$$ d_u = \frac{c (N_c - 1) T_s}{2} \approx \frac{c}{2 \Delta f} $$最大不模糊速度（兩種方法相同）[Oliari 2024, Sec. IV]
$$ v_u = \frac{c}{4 f_c T_{\text{SRI}}} $$範例：當 \(f_c = 26\) GHz，\(T_{\text{SRI}} = 31.25\, \mu\text{s}\)，則
$$ v_u \approx 92.24 \text{ m/s} \quad (\text{對應速度範圍 } \pm 46.12 \text{ m/s}) $$基於上述模型，第三章將詳細說明 MP-OSIC 演算法的三階段架構：
[15] V. Oliari, A. Pandharipande, and W. van Houtum, "OFDM radar sensing in joint communication and sensing systems without cyclic prefix overhead," IEEE Sensors J., vol. 24, no. 14, pp. 22648–22657, Jul. 2024.
[21] D.-C. Chang and D.-L. Guo, "Spatial-division multiplexing MIMO detection based on a modified layered OSIC scheme," IEEE Trans. Wireless Commun., vol. 12, no. 9, pp. 4258–4271, Sep. 2013.