Group

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　　Group 　　

group的定義、commute與abelian

1. 一個group是一個集合

$G$ 與一個運算

$*$ 所構成的有序對

$(G, *)$ 滿足：
(i) 封閉性：對於

$a,b \in G$ ，

$a*b\in G$ 。
(ii) 結合律[1]：對於

$a,b,c\in G$ ，

$a*(b*c)=(a*b)*c$ 。
(iii) identity(單位元素)存在：存在

$e\in G$ 使得對於

$a\in G$ ，有

$e*a=a*e=a$ 。
(iv) inverse(反元素)存在：對於

$a\in G$ ，存在

$b\in G$ 使得

$a*b=b*a=e$ 。此時可記為

$b=a^{-1}$ 。
2. 若

$a,b\in G$ 滿足

$a*b=b*a$ ，則稱

$a$ 和

$b$ commute(交換)。
3.

$(G, *)$ 是一個group。若對於

$a,b\in G$ 都有

$a*b=b*a$ ，則稱G為abelian或是commutative。

group的例子

1. 取整數集合與加法運算(寫作

$(\mathbb{Z}, +)$ )構成一個group。同樣在加法運算下，有理數、實數和複數也都構成group，也就是說

$(\mathbb{Q}, +), (\mathbb{R}, +), (\mathbb{C}, +)$ 都是group。在以上例子之中，identity都是0並且

$a$ 的inverse是

$-a$ 。
2.

$(\mathbb{Q}, \times)$ 不是一個group，因為0沒有inverse。同樣地

$(\mathbb{R}^\times, \times)$ 、

$(\mathbb{C}^\times, \times)$ 也不是。
3.

$(\mathbb{Q}^\times, \times), (\mathbb{R}^\times, \times), (\mathbb{C}^\times, \times)$ 也都是group，其中

$S^\times=S -\{ 0\}$ 。以上group的identity都是1。然而

$(\mathbb{Z}^\times, \times)$ 不是group，因為像是2就沒有inverse。
4.

$(\mathbb{R}^n, +)$ 也是一個group，此處的加法表示向量加法且identity是零向量。
後面有更多group的介紹。

由group的定義，我們可以推到以下group的性質：
觀念1 若

$(G, *)$ 是一個group，則
1.

$G$ 的identity是唯一的。
2. 對於

$a\in G$ ，

$a^{-1}$ 是唯一的。
3. 對於

$a\in G$ ，

$(a^{-1})^{-1}=a$ 。
4. 對於

$a,b\in G$ ，

$(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$ 。
5. 廣義結合律：對於

$a_1, a_2, \ldots, a_n\in G$ ，

$a_1*a_2*\ldots *a_n$ 的運算結果與在此式子中如何加上括號無關。

證明

1. 若

$e_1,e_2$ 都是identity，則有

$e_1$

$e_2$ 是identity

$e_1*e_2$

$e_1$ 是identity

$e_2$ 。
2. 令

$e$ 為

$G$ 中的identity。若

$b_1, b_2$ 都是

$a$ 的inverse，則有

$b_1 = b_1 *e$

$b_2$ 是

$a$ 是inverse

$b_1* (a*b_2)$

結合律

$(b_1* a)*b_2$

$b_1$ 是

$a$ 是inverse

$e*b_2 = b_2$ 。
3.

$a^{-1}$ 是

$a$ 的inverse

$\Rightarrow$

$a^{-1}*a=a*a^{-1}=e$

$\Rightarrow$

$a$ 是

$a^{-1}$ 的inverse
又由

$(a^{-1})^{-1}$ 也是

$a^{-1}$ 的inverse，由2.可推得

$(a^{-1})^{-1}=a$ 。
4. 兩者都是

$a*b$ 的inverse，故由2.得證。
5. 見[2]。

超連結：
[1] 運算與運算律
[2] 廣義結合律