Group
Group
group的定義、commute與abelian
1. 一個group是一個集合\( G\)與一個運算\(*\)所構成的有序對\( (G, *)\)滿足：
(i) 封閉性：對於\(a,b \in G\)，\(a*b\in G\)。
(ii) 結合律[1]：對於\( a,b,c\in G\)，\( a*(b*c)=(a*b)*c\)。
(iii) identity(單位元素)存在：存在\( e\in G\)使得對於\( a\in G\)，有\( e*a=a*e=a\)。
(iv) inverse(反元素)存在：對於\(a\in G\)，存在\( b\in G\)使得\( a*b=b*a=e\)。此時可記為\( b=a^{-1}\)。
2. 若\( a,b\in G\)滿足\( a*b=b*a\)，則稱\( a\)和\( b\) commute(交換)。
3. \( (G, *)\)是一個group。若對於\(a,b\in G\)都有\(a*b=b*a\)，則稱G為abelian或是commutative。
group的例子
1. 取整數集合與加法運算(寫作\((\mathbb{Z}, +) \) )構成一個group。同樣在加法運算下，有理數、實數和複數也都構成group，也就是說\((\mathbb{Q}, +), (\mathbb{R}, +), (\mathbb{C}, +)\)都是group。在以上例子之中，identity都是0並且\( a\)的inverse是\( -a\)。
2. \( (\mathbb{Q}, \times) \)不是一個group，因為0沒有inverse。同樣地\( (\mathbb{R}^\times, \times)\)、\( (\mathbb{C}^\times, \times)\)也不是。
3. \( (\mathbb{Q}^\times, \times), (\mathbb{R}^\times, \times), (\mathbb{C}^\times, \times) \)也都是group，其中\( S^\times=S -\{ 0\}\)。以上group的identity都是1。然而\( (\mathbb{Z}^\times, \times)\)不是group，因為像是2就沒有inverse。
4. \( (\mathbb{R}^n, +)\)也是一個group，此處的加法表示向量加法且identity是零向量。
後面有更多group的介紹。
由group的定義，我們可以推到以下group的性質：
觀念1 若\((G, *)\)是一個group，則
1. \( G\)的identity是唯一的。
2. 對於\(a\in G\)，\( a^{-1}\)是唯一的。
3. 對於\(a\in G\)，\( (a^{-1})^{-1}=a\)。
4. 對於\( a,b\in G\)，\( (a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}\)。
5. 廣義結合律：對於\( a_1, a_2, \ldots, a_n\in G\)，\( a_1*a_2*\ldots *a_n\)的運算結果與在此式子中如何加上括號無關。
證明
1. 若\( e_1,e_2\)都是identity，則有
\( e_1 \)
\( e_1*e_2 \)
\(e_2\)。
2. 令\( e\)為\(G\)中的identity。若\( b_1, b_2\) 都是\( a\)的inverse，則有
\( b_1 = b_1 *e\)
=
\(b_2 \)是\( a\)是inverse
=
\(b_1 \)是\( a\)是inverse
3. \( a^{-1}\)是\( a\)的inverse \( \Rightarrow\) \( a^{-1}*a=a*a^{-1}=e\) \( \Rightarrow\) \( a\)是\( a^{-1}\)的inverse
又由\( (a^{-1})^{-1}\)也是\( a^{-1}\)的inverse，由2.可推得\( (a^{-1})^{-1}=a\)。
4. 兩者都是\( a*b\)的inverse，故由2.得證。
5. 見[2]。
超連結：
[1] 運算與運算律
[2] 廣義結合律