PART 1：中大附属入試と中2数学の全体像
■ 中大附属入試における中2の重要性
中大附属の数学入試は60分・100点満点・大問4〜5題です。中2範囲は入試全体の約30%を占めていて、特に「1次関数」と「図形の証明」は毎年必ず出題されます。
そして、中2の1次関数は中3の「2次関数」の土台になります。1次関数が理解できていないと、中3の関数問題も解けません。つまり、1次関数を制する者は中大附属の関数問題を制すると言っても過言ではないんです。
中大附属の関数問題は、「1次関数の基本が完璧に理解できているか」を試してきます。傾き、切片、変域、変化の割合、交点、動点問題。この6つを完璧にすれば、関数問題で怖いものはありません。
■ 1次関数が苦手な人へ：3つの原因と解決法
原因1：「傾き」と「切片」の区別がつかない
→ 解決法：y=ax+bのaが傾き、bが切片と、声に出して10回言いましょう。傾きは「急きょ具合」、切片は「y軸との交点」です。
原因2：グラフの書き方がわからない
→ 解決法：「切片をとる → 傾きで点をとる → 直線で結ぶ」の3ステップを体に覚えさせます。この教材で図をたくさん見てください。
原因3：文章題で何をx, yにするかわからない
→ 解決法：「求めたいものをx, yにする」のが鉄則です。xは「変化する量」、yは「それに伴って変化する量」と考えるとわかりやすいです。
PART 2：1次関数 完全攻略（基礎＋裏技）
ここが本番です！1次関数を基礎から超丁寧に解説します。図をたくさん使うので、目で見て理解してください。裏技も惜しみなく紹介します！
■ 基礎授業①：1次関数ってなに？
【1】比例から1次関数へ
中1で「比例」を習いました。比例はy = axの形で、グラフは原点を通る直線でした。
中2では、これを一般化した1次関数を習います。1次関数はy = ax + bの形で、グラフは原点を通るとは限らない直線です。
1次関数：y = ax + b （a≠0）
このとき、aを傾き、bを切片と言います。比例は「切片が0の1次関数」と考えることができます。
【2】傾きと切片の意味
傾き a
直線の急きょ具合を表します。
a > 0：右上がりの直線
a < 0：右下がりの直線
|a|が大きいほど急な直線
切片 b
直線とy軸との交点のy座標です。
b > 0：y軸の正の部分と交わる
b < 0：y軸の負の部分と交わる
b = 0：原点を通る（比例）
「y=2x+1の傾きと切片は？」と聞かれて、「傾き2、切片1」と即答できないと中大附属では厳しいです。また「y=−3x+4」なら「傾き−3、切片4」です。この読み取りを100問練習してください。
■ 基礎授業②：グラフの書き方
【3】グラフを描く3ステップ
1次関数のグラフを描くには、次の3ステップで行います。
切片をとる：y軸上に、切片bの点(0, b)をとります。
傾きで点をとる：切片の点から、右に1、上にa進んだ点をとります。（aが負なら下に進みます）
例：y=2x+1のグラフを描く
裏技①：切片が分数でもグラフが描ける方法
切片が分数（例：y=2x+1/2）のときは、分母を払う点を探します。x=1のときy=2+1/2=5/2、x=2のときy=4+1/2=9/2... これでは点がとりにくいです。
コツ：切片が分数のときは、xに分母の数を代入して、yが整数になる点を探します。y=(2/3)x+1なら、x=3のときy=3、x=6のときy=5です。
■ 基礎授業③：変域
【4】変域とは
変域とは、xやyの値の範囲のことです。1次関数では、xの変域が与えられたとき、yの変域を求める問題がよく出ます。
求め方：xの変域の両端を代入して、yの値を求めます。a>0なら「x最小→y最小」、a<0なら「x最小→y最大」です。
中大附属の変域問題では、aの符号によって変域の向きが変わることを忘れる受験生が多いです。a>0なら「x最小→y最小」、a<0なら「x最小→y最大」です。この反転を忘れると中大附属では確実に失点します。
裏技②：変域の裏技「端っこを代入」
変域の問題は、「xの変域の両端を式に代入する」だけでOKです。代入して出たyの値が、yの変域の両端になります。どちらが最小でどちらが最大かは、aの符号で判断します。
例：y=−2x+5で、−1≦x≦3のとき、yの変域を求めよ。
x=−1のときy=7、x=3のときy=−1。a=−2<0なので、x最小→y最大。よって−1≦y≦7です。
■ 基礎授業④：変化の割合
【5】変化の割合とは
変化の割合とは、xが1増えたときにyがどれだけ増えるかを表す値です。
変化の割合 = (yの増加量) / (xの増加量)
1次関数では、変化の割合は常に一定で、それは傾きaに等しいです。これは超重要です！
裏技③：変化の割合を一発で求める公式
1次関数y=ax+bで、xがpからqまで変化するときの変化の割合は、常にa（傾き）です。計算する必要はありません！
例：y=3x+2で、xが1から5まで変化するときの変化の割合は？
→ 変化の割合は常に傾きに等しいので、3です。
■ 標準授業①：2点を通る直線の式
【6】2点を通る直線の求め方
中大附属では、「2点を通る直線の式を求める」問題が頻出です。解き方を2つ紹介します。
【解き方A：連立方程式を使う】
① y=ax+bとおく
② 2点の座標を代入して、連立方程式を作る
③ aとbを求める
例：点(1, 3)と点(3, 7)を通る直線の式を求めよ。
y=ax+bに代入して、3=a+b、7=3a+b。引いて−4=−2a → a=2、b=1。よってy=2x+1です。
【解き方B：先に傾きを求める】
① 傾きaを、変化の割合の公式で求める
② 一方の点を代入して、切片bを求める
例：点(1, 3)と点(3, 7)を通る直線の式を求めよ。
傾きa=(7−3)/(3−1)=4/2=2。y=2x+bに(1, 3)を代入して、3=2+b → b=1。よってy=2x+1です。
裏技④：2点を通る直線の式を一発で求める公式
2点(x₁, y₁), (x₂, y₂)を通る直線の式は、次の公式で一発で求められます。
y − y₁ = {(y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)} × (x − x₁)
これは「点傾式」と呼ばれる公式です。傾きを先に求めて、一方の点を代入するのと同じことですが、一発で書けます。
■ 標準授業②：交点
【7】2つの直線の交点
2つの1次関数のグラフの交点は、2つの式を連立方程式として解くことで求められます。
例：y=2x+1とy=−x+7の交点を求めよ。
2x+1=−x+7 → 3x=6 → x=2。y=2×2+1=5。よって交点は(2, 5)です。
中大附属の交点問題では、「連立方程式を解く」という手順を忘れないでください。2つの式をイコールで結んで、xを求めて、yを求めます。この手順を体に覚えさせましょう。
■ 応用授業①：動点問題
【8】動点問題の解き方
中大附属では、「点Pが辺上を動くとき、三角形の面積yをxの式で表す」問題が頻出です。
解き方：点Pの位置によって場合分けして、各場合で底辺と高さをxで表します。そして、面積の公式に代入してyをxの式で表します。
裏技⑤：動点問題の「面積が変わらない」パターン
動点問題では、点Pがある辺上を動いている間は、三角形の底辺と高さのどちらかが一定です。そのため、面積はxの1次関数になります。点Pが頂点に達すると、面積の式が変わります。
コツ：点Pが各辺上にある場合を、図を描いて整理しましょう。
■ 応用授業②：1次関数の融合問題
【9】三角形の面積を求める問題
中大附属では、「1次関数のグラフと座標軸で囲まれた三角形の面積」を求める問題が頻出です。
例：y=2x+4のグラフとx軸、y軸で囲まれた三角形の面積を求めよ。
x軸との交点：y=0 → 2x+4=0 → x=−2。y軸との交点：x=0 → y=4。底辺2、高さ4の三角形。面積=1/2×2×4=4です。
裏技⑥：三角形の面積を一発で求める公式
y=ax+bのグラフとx軸、y軸で囲まれた三角形の面積は、次の公式で一発で求められます。
面積 = b² / (2|a|)
例：y=2x+4なら、b=4, a=2なので、面積=16/(2×2)=4。一発で求まります！
なぜこの公式が成り立つのか？x軸との交点はx=−b/a、y軸との交点はy=bです。底辺の長さは|−b/a|=|b|/|a|、高さは|b|です。面積=1/2×|b|/|a|×|b|=b²/(2|a|)となります。
裏技⑦：等積変形で面積を求める
三角形の面積を求めるとき、等積変形を使うと計算が楽になることがあります。底辺が同じで高さが同じ三角形は、形が違っても面積が等しいという性質を使います。
■ 1次関数 応用問題（10問）
問1. 2点(1, 5)と(3, 11)を通る直線の式を求めなさい。
問2. 2点(−1, 1)と(2, −5)を通る直線の式を求めなさい。
問3. 2つの1次関数y=2x+1とy=−x+7の交点の座標を求めなさい。
問4. 1次関数y=3x−2について、xの変域が1≦x≦4のとき、yの変域を求めなさい。
問5. 1次関数y=−2x+8について、xの変域が−1≦x≦3のとき、yの変域を求めなさい。
問6. y=2x+4のグラフとx軸、y軸で囲まれた三角形の面積を求めなさい。
問7. 長方形ABCDがあり、AB=6cm、BC=8cmです。点Pは辺AB上をAからBまで毎秒1cmの速さで動きます。点Pが出発してからx秒後の△APDの面積をy cm²とします。yをxの式で表しなさい。ただし、0≦x≦6とします。
問8. 1次関数y=2x+4とy=−x+10の交点をPとします。Pの座標を求めなさい。
問9. 1次関数y=3x−6のグラフとx軸、y軸で囲まれた三角形の面積を求めなさい。
問10. ある1次関数は、x=2のときy=5で、x=5のときy=11です。この1次関数の式を求めなさい。
■ 解答・解説
問1 解答：y=3x+2
解説：y=ax+bとおきます。5=a+b、11=3a+b。引いて6=2a → a=3。b=2。
問2 解答：y=−2x−1
解説：1=−a+b、−5=2a+b。引いて−6=3a → a=−2。b=−1。
問3 解答：(2, 5)
解説：2x+1=−x+7 → 3x=6 → x=2。y=2×2+1=5。
問4 解答：1≦y≦10
解説：傾きが正なので、x=1のときy=1（最小）、x=4のときy=10（最大）。
問5 解答：2≦y≦10
解説：傾きが負なので、x=−1のときy=10（最大）、x=3のときy=2（最小）。
問6 解答：4
解説：x軸との交点はx=−2、y軸との交点はy=4。面積=1/2×2×4=4。裏技を使うと、b²/(2|a|)=16/(2×2)=4。
問7 解答：y=4x
解説：AP=x cm。△APDの底辺はAP=x、高さはAD=8cm。面積y=1/2×x×8=4x。
問8 解答：P(2, 8)
解説：2x+4=−x+10 → 3x=6 → x=2。y=2×2+4=8。
問9 解答：6
解説：x軸との交点：y=0 → 3x−6=0 → x=2。y軸との交点：x=0 → y=−6。底辺2、高さ6の三角形。面積=1/2×2×6=6。裏技を使うと、b²/(2|a|)=36/(2×3)=6。
問10 解答：y=2x+1
解説：y=ax+bとおきます。5=2a+b、11=5a+b。引いて6=3a → a=2。b=1。
■ 中大附属特化・長文読解（1題）
【問題】次の文章を読んで、後の問いに答えなさい。
ある水槽に水を入れます。水槽には最初、水が10L入っています。毎分2Lの割合で水を入れるとき、x分後の水槽の水の量をyLとします。
問1. yをxの式で表しなさい。
問2. xの変域を0≦x≦15とするとき、yの変域を求めなさい。
問3. 水槽の水の量が40Lになるのは何分後ですか。
問4. この水槽に、毎分3Lの割合で水を入れる別のホースを追加しました。このホースを使い始めてからx分後の水槽の水の量をyLとします。最初のホースと合わせて、yをxの式で表しなさい。
■ 解答・解説
問1 解答：y=2x+10
解説：最初10L、毎分2L増えるので、y=2x+10。
問2 解答：10≦y≦40
解説：x=0のときy=10、x=15のときy=40。傾きが正なので、10≦y≦40。
問3 解答：15分後
解説：40=2x+10 → 2x=30 → x=15。
問4 解答：y=5x+10
解説：最初のホースで毎分2L、追加のホースで毎分3L。合わせて毎分5L。y=5x+10。
PART 3：2年生全範囲の応用問題特訓
1次関数以外の単元の応用問題を集めました。中大附属レベルの問題ばかりなので、じっくり考えてください。
■ 式の計算 応用問題（5問）
問1. 等式3x+2y=8をyについて解きなさい。
問2. 等式S=2πr²+2πrhをhについて解きなさい。
問3. 連続する3つの整数のうち、真ん中の数をnとします。3つの整数の和をnを使って表しなさい。また、その和が3nになる理由を説明しなさい。
問4. 1辺がa cmの正方形と、縦a cm、横b cmの長方形があります。正方形の周の長さが長方形の周の長さより4cm長いとき、aとbの関係を式で表しなさい。
問5. x=3, y=−2のとき、次の式の値を求めなさい。
3x²y−2xy²
■ 解答・解説
問1 解答：y=(8−3x)/2
解説：2y=8−3x → y=(8−3x)/2。またはy=4−(3/2)x。
問2 解答：h=(S−2πr²)/(2πr)
解説：2πrh=S−2πr² → h=(S−2πr²)/(2πr)。
問3 解答：和=(n−1)+n+(n+1)=3n。理由：連続する3つの整数はn−1, n, n+1と表せます。それぞれを足すとnが3つ分になるからです。
問4 解答：4a=2(a+b)+4
解説：正方形の周=4a。長方形の周=2(a+b)。「正方形が4cm長い」→4a=2(a+b)+4。
問5 解答：−72
解説：3×3²×(−2)−2×3×(−2)²=3×9×(−2)−2×3×4=−54−24=−78。失礼しました。正しくは−78です。
■ 連立方程式 応用問題（5問）
問1. 1個120円のりんごと1個80円のみかんを合わせて10個買ったところ、代金は960円でした。りんごとみかんをそれぞれ何個買ったか求めなさい。
問2. A地点からB地点まで、行きは時速4km、帰りは時速6kmで往復したところ、合計2時間30分かかりました。A地点からB地点までの道のりを求めなさい。
問3. 濃度5%の食塩水と濃度10%の食塩水を混ぜて、濃度8%の食塩水を300g作りたいです。それぞれ何g混ぜればよいでしょうか。
問4. 現在、父の年齢は子の年齢の3倍です。5年後には父の年齢は子の年齢の2倍になります。現在の父と子の年齢を求めなさい。
問5. 1周2400mの池の周りを、AさんとBさんが同時に同じ地点から反対方向に走り出しました。Aさんは分速180m、Bさんは分速120mで走ります。2人が出会うのは何分後ですか。
■ 解答・解説
問1 解答：りんご4個、みかん6個
解説：りんごをx個、みかんをy個とします。x+y=10、120x+80y=960。これを解くとx=4, y=6。
問2 解答：6km
解説：道のりをx kmとします。行きの時間=x/4、帰りの時間=x/6。x/4+x/6=2.5 → 両辺に12をかけて3x+2x=30 → 5x=30 → x=6。
問3 解答：5%を120g、10%を180g
解説：5%をx g、10%をy gとします。x+y=300、0.05x+0.10y=0.08×300=24。これを解くとx=120, y=180。
問4 解答：父15歳、子5歳
解説：子をx歳、父をy歳とします。y=3x、y+5=2(x+5)。y=3xを代入して3x+5=2x+10 → x=5。y=15。
問5 解答：8分後
解説：反対方向に走る場合、2人の速さの和で近づきます。(180+120)=300m/分。2400÷300=8分後。
■ 平行と合同 応用問題（5問）
問1. 平行四辺形ABCDで、AB=CDであることを証明しなさい。
問2. 2つの三角形があり、AB=DE、BC=EF、∠B=∠Eです。この2つの三角形が合同であることを証明しなさい。
問3. 二等辺三角形ABCで、AB=ACです。頂角∠Aの二等分線を引いたとき、△ABD≡△ACDを証明しなさい。
問4. 三角形ABCで、∠A=50°、∠B=60°のとき、∠Cの外角を求めなさい。
問5. 正五角形の1つの内角の大きさを求めなさい。
■ 解答・解説
問1 解答：△ABDと△CDBにおいて、AB∥CDより∠ABD=∠CDB（錯角）。AD∥BCより∠ADB=∠CBD（錯角）。BDは共通。1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、△ABD≡△CDB。よってAB=CD。
問2 解答：△ABCと△DEFにおいて、AB=DE（仮定）、BC=EF（仮定）、∠B=∠E（仮定）。2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△ABC≡△DEF。
問3 解答：△ABDと△ACDにおいて、AB=AC（仮定）、∠BAD=∠CAD（ADは∠Aの二等分線）、ADは共通。2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△ABD≡△ACD。
問4 解答：110°
解説：∠C=180−50−60=70°。外角=180−70=110°。または、外角=50+60=110°。
問5 解答：108°
解説：内角の和=180×(5−2)=540°。1つの内角=540÷5=108°。
■ 三角形と四角形 応用問題（5問）
問1. 四角形ABCDで、AB=CD、AD=BCです。この四角形が平行四辺形であることを証明しなさい。
問2. 平行四辺形ABCDの対角線の交点をOとします。△AOD≡△COBを証明しなさい。
問3. 二等辺三角形ABCで、AB=ACです。頂角∠Aの二等分線を引いたとき、BD=CDであることを証明しなさい。
問4. 平行四辺形ABCDで、∠A=70°のとき、∠B, ∠C, ∠Dを求めなさい。
問5. 正五角形の1つの外角の大きさを求めなさい。
■ 解答・解説
問1 解答：△ABDと△CDBにおいて、AB=CD（仮定）、AD=BC（仮定）、BDは共通。3組の辺がそれぞれ等しいので、△ABD≡△CDB。よって∠ABD=∠CDB（錯角が等しい）なのでAB∥CD。同様にAD∥BC。2組の対辺がそれぞれ平行なので、四角形ABCDは平行四辺形です。
問2 解答：△AODと△COBにおいて、平行四辺形の対角線は中点で交わるのでAO=CO、DO=BO。対頂角より∠AOD=∠COB。2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△AOD≡△COB。
問3 解答：△ABDと△ACDにおいて、AB=AC（仮定）、∠BAD=∠CAD（ADは∠Aの二等分線）、ADは共通。2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△ABD≡△ACD。よってBD=CD。
問4 解答：∠B=110°、∠C=70°、∠D=110°
解説：平行四辺形の向かい合う角は等しい。隣り合う角の和は180°。
問5 解答：72°
解説：正五角形の外角の和は360°。1つの外角=360÷5=72°。
■ 確率 応用問題（5問）
問1. 2つのサイコロを投げて、出た目の和をx、積をyとします。点(x, y)が1次関数y=2xのグラフ上にある確率を求めなさい。
問2. 2つのサイコロを投げて、出た目の和が5になる確率と、和が6になる確率では、どちらが大きいですか。理由をつけて答えなさい。
問3. 1から6までの数字が1つずつ書かれた6枚のカードから2枚同時に引くとき、2枚のカードの数字の差が2になる確率を求めなさい。
問4. 袋の中に赤玉2個、白玉3個が入っています。この袋から1個の玉を取り出し、色を確認して袋に戻します。これを2回行うとき、1回目が赤玉、2回目が白玉である確率を求めなさい。
問5. 上の問題で、玉を袋に戻さずに2個続けて取り出すとき、1個目が赤玉、2個目が白玉である確率を求めなさい。
■ 解答・解説
問1 解答：2/36 = 1/18
解説：y=2xを満たす(x, y)を探します。(2, 4)と(3, 6)の2通り。2/36=1/18。
問2 解答：和が6になる確率の方が大きいです。和が5になるのは4通り、和が6になるのは5通りだからです。
問3 解答：8/15
解説：6枚から2枚引く組み合わせは15通り。差が2になるのは(1,3)(2,4)(3,5)(4,6)(3,1)(4,2)(5,3)(6,4)の8通り。8/15。
問4 解答：6/25
解説：1回目に赤玉を取り出す確率=2/5。袋に戻すので、2回目に白玉を取り出す確率=3/5。2/5×3/5=6/25。
問5 解答：3/10
解説：1回目に赤玉を取り出す確率=2/5。袋に戻さないので、2回目は白玉3個、赤玉1個の合計4個から白玉を取り出す確率=3/4。2/5×3/4=3/10。
■ データの分析 応用問題（5問）
問1. 次のデータの四分位数を求めなさい。
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15
問2. 上のデータの四分位範囲を求めなさい。
問3. A組とB組の数学テストの得点を箱ひげ図で表しました。A組の四分位範囲は15、B組の四分位範囲は25です。どちらのクラスの方が得点の散らばりが大きいですか。
問4. データの最小値が2、最大値が18、Q1が5、Q2が10、Q3が14のとき、箱ひげ図を描くときの各部分の長さを求めなさい。
問5. あるデータの平均値は50、中央値は55です。このデータの分布はどのような傾向にあると考えられますか。理由をつけて説明しなさい。
■ 解答・解説
問1 解答：Q1=4、Q2=8、Q3=12
解説：8個のデータなので、Q2は4番目と5番目の平均=(7+9)÷2=8。Q1は下位4個(1,3,5,7)の中央値=4。Q3は上位4個(9,11,13,15)の中央値=12。
問2 解答：8
解説：四分位範囲=Q3−Q1=12−4=8。
問3 解答：B組の方が得点の散らばりが大きいです。四分位範囲が25で、A組の15より大きいからです。
問4 解答：左のひげ=3、箱の左部分=5、箱の右部分=4、右のひげ=4
解説：左のひげ=Q1−最小値=5−2=3。箱の左部分=Q2−Q1=10−5=5。箱の右部分=Q3−Q2=14−10=4。右のひげ=最大値−Q3=18−14=4。
問5 解答：平均値(50) < 中央値(55)なので、データは左側（小さい値の方）に外れ値がある可能性が高いです。つまり、極端に小さい値のデータが平均値を引き下げていると考えられます。
■ 中大附属特化・長文読解（1題）
【問題】次の文章を読んで、後の問いに答えなさい。
ある中学校では、文化祭で「数学クイズラリー」を開催することになりました。参加者は、校内の5つのチェックポイントを回り、各ポイントで出題される数学の問題に答えます。各ポイントで正解すると得点がもらえ、不正解だと減点されます。
得点と減点のルールは以下の通りです。
- ポイントA：正解 +10点、不正解 −5点
- ポイントB：正解 +20点、不正解 −10点
- ポイントC：正解 +30点、不正解 −15点
- ポイントD：正解 +40点、不正解 −20点
- ポイントE：正解 +50点、不正解 −25点
太郎君は5つのポイントすべてに挑戦しました。その結果、太郎君の合計得点は 30点 でした。また、太郎君はポイントAとポイントBの両方で正解し、ポイントEでは不正解でした。
太郎君のポイントCとポイントDの正解・不正解の組み合わせを、方程式を使って求めなさい。
■ 解答・解説
ポイントCとDの状態を場合分けしていきます。
【場合1】CもDも正解の場合：
得点 = 10+20+30+40−25 = 75点。これは30点ではありません。
【場合2】Cが正解、Dが不正解の場合：
得点 = 10+20+30−20−25 = 15点。30点ではありません。
【場合3】Cが不正解、Dが正解の場合：
得点 = 10+20−15+40−25 = 30点。30点になります。
【場合4】CもDも不正解の場合：
得点 = 10+20−15−20−25 = −30点。30点ではありません。
よって、ポイントCは不正解、ポイントDは正解です。