第2章 系統模型與訊號處理基礎

本章建立 NR V2X ISAC 系統的完整數學模型，為後續演算法設計奠定理論基礎。首先介紹系統架構與 OFDM 訊號產生流程，接著推導雷達通道模型，包含時延、都卜勒效應與路徑損耗。隨後，我們建立 ISAC 接收訊號的數學模型，並分析傳統 CP 機制在雷達應用中的局限性。最後，本章將深入探討多目標檢測所面臨的兩大挑戰：符號間干擾（ISI）與弱目標掩蓋，並推導解決 ISI 問題的感測矩陣，從而引出本文所提演算法的必要性。

2.1 NR V2X ISAC 系統架構

本研究考慮一個基於 5G NR V2X 標準的聯合通訊與感測（ISAC）系統，該系統採用 OFDM 作為底層實體層技術。系統架構如圖 2.1 所示，發射機與接收機共址於主機車輛（Host Vehicle），利用下行通訊時隙（例如廣播訊號）進行雷達感測，接收機保持開啟以接收來自其他車輛或行人的目標反射回波。由於收發機共址，接收端可完全掌握發射訊號內容，此特性對於感測訊號處理至關重要。

圖 2.1 NR V2X ISAC 系統架構圖 [1]

2.1.1 系統參數設定

系統採用符合 5G NR 標準的 OFDM 參數配置，工作於毫米波頻段以獲得更高的距離與速度解析度。表 2.1 列出完整的系統參數設定。

表 2.1 NR V2X ISAC 系統參數設定 [1]

由上述參數可推導出系統的雷達性能指標 [1]：

• 距離解析度： $$\Delta d = \frac{c \cdot T_s}{2} = \frac{c}{2 \cdot BW} \approx 0.61 \text{ m}$$
• 最大無模糊距離（本文方法）： $$d_{\max} = N_c \times \Delta d \approx 312.5 \text{ m}$$
• 速度解析度： $$\Delta v = \frac{c}{2 \cdot f_c \cdot T_{\text{sym}} \cdot N_{\text{sym}}} \approx 10.1 \text{ m/s}$$
• 最大通道延遲點： $$L = N_c = 512 \text{ samples}$$

這些參數的選擇兼顧了通訊與感測的性能需求。值得注意的是，本文方法的最大可測距離 $d_{\max} \approx 312.5 \text{ m}$ 是由子載波總數 $N_c$ 決定的。這與傳統依賴 CP 長度的 $d_{\max,\text{CP}} \approx 22 \text{ m}$（詳見 2.1.3 節）形成強烈對比，凸顯了本文所用時域處理方法的必要性。

2.1.2 OFDM 訊號產生

OFDM 發射機架構採用標準流程。訊號產生過程可分為以下步驟 [1]：

步驟 1：QAM 調變

ISAC 系統的核心是利用通訊訊號進行感測。因此，輸入位元流 $b[k,m]$ 首先經過 QAM 調變，將位元映射為通訊所需的複數符號：

(2.1)

其中 $k$ 為子載波索引，$m$ 為 OFDM 符號索引。$s[k, m]$ 即為後續雷達感測所利用的「機會訊號源」（Signal of Opportunity）。在模擬中，我們假設 $b[k,m]$ 為隨機位元流，使 $s[k, m]$ 為隨機的 QAM 符號。

步驟 2：反快速傅立葉轉換（IFFT）

頻域符號透過 $N_c$ 點 IFFT 轉換至時域：

(2.2)

其中 $x[n, m]$ 為第 $m$ 個 OFDM 符號的第 $n$ 個時域樣本。

步驟 3：循環前綴添加

為對抗多徑通道造成的符號間干擾，在每個 OFDM 符號前添加長度為 $P$ 的循環前綴：

(2.3)

步驟 4：串並轉換與功率正規化

將所有 OFDM 符號串接成連續序列，並進行功率正規化，確保發射功率符合系統規範 $P_t$ [1]。

步驟 5：數位類比轉換與載波調變

經過數位類比轉換器（DAC）後，基頻訊號 $x(t)$ 透過載波頻率 $f_c$ 進行正交調變，產生最終的射頻發射訊號 $x_{\text{TX}}(t)$ [1]。

2.1.3 循環前綴機制 (CP Mechanism)

循環前綴（CP）是 OFDM 系統的核心機制，但其在通訊與感測應用中扮演著雙重角色。

CP 在通訊系統的充分性

對於通訊系統，CP 的主要功能是提供一個保護間隔（Guard Interval），以消除由多徑傳播引起的符號間干擾（ISI）。本系統的 CP 長度 $P = 36$ 樣本，對應 $T_{\text{CP}} = P \times T_s \approx 146.5 \text{ ns}$ [1]。此長度足以覆蓋典型 V2X 通訊場景的多徑延遲擴展，確保通訊的可靠性。

CP 在雷達感測的不足

然而，對於雷達感測，目標回波的延遲 $\tau$ 由雙程距離 $d$ 決定：$\tau = 2d/c$。如果採用傳統基於 FFT 的雷達處理，系統的最大可測距離將受限於 $T_{\text{CP}}$：

此距離（22公尺）對於 V2X 應用（典型感測需求 50-300 公尺）是遠遠不足的。

符號間干擾（ISI）效應

當目標距離 $d > 22 \text{ m}$ 時，其回波延遲 $\tau > T_{\text{CP}}$。如圖 2.2 所示，這將導致嚴重的符號間干擾 [1]。

圖 2.2 符號間干擾（ISI）效應示意圖 [1]

如圖 2.2 所示：

• Target echo 1 (近距離目標)：其延遲 $\tau_1 < T_{\text{CP}}$。接收端在第 $m$ 個符號的 FFT 窗口內接收到完整的訊號，不受干擾。
• Target echo Q (遠距離目標)：其延遲 $\tau_Q > T_{\text{CP}}$。導致在第 $m$ 個符號的 FFT 窗口的「前段」，接收到的卻是來自第 $m-1$ 個符號的訊號尾部（即 $x[m-1]$）。

這種來自前一個符號的干擾即為 ISI。這使得傳統依賴循環卷積特性的 2D-FFT 方法完全失效。這正是本論文必須解決的核心問題之一。為此，我們必須拋棄頻域處理，轉而在時域構建一個能明確處理 ISI 效應的感測模型，這將在 2.5 節詳細闡述。

2.2 雷達通道模型

本節建立多目標雷達通道的數學模型，包含時延、都卜勒效應、路徑損耗與雷達截面積。

2.2.1 時延與距離關係

雙程時延公式

考慮位於距離 $d_i$ 處的第 $i$ 個目標，其雙程時延 $\tau_i$（忽略速度 $v_i t$ 的微小變化）為 [1]：

(2.4)

離散化假設

在數位訊號處理中，時延需離散化為取樣週期 $T_s$ 的整數倍：

(2.5)

其中 $c_i$ 為延遲索引（樣本數）。

距離與延遲索引的映射

結合 (2.4) 與 (2.5)，可得距離與延遲索引的關係：

(2.6)

其中 $\Delta d \approx 0.61$ m 為距離解析度。可測距離範圍為 $0 \leq d_i \leq (N_c - 1) \cdot \Delta d \approx 312.5 \text{ m}$。

2.2.2 都卜勒頻移與速度關係

都卜勒效應公式

當目標具有徑向速度 $v_i$ 時，反射訊號的載波頻率會產生都卜勒頻移 [1]：

(2.7)

離散化假設

在慢時間（符號）維度上，都卜勒頻移 $f_{d,i}$ 被離散化為 [1]：

(2.8)

其中 $p_i$ 為都卜勒頻率索引。

速度解析度

結合 (2.7) 與 (2.8)，可推導出速度解析度：

(2.9)

代入表 2.1 參數，$\Delta v \approx 10.1$ m/s，與 2.1.1 節一致。

2.2.3 通道衰減係數

第 $i$ 個目標的雷達通道衰減係數 $a_i$ 是一個複數，它同時包含了振幅衰減與相位旋轉 [1]。

(2.10)

振幅衰減 $a_i'$ (雷達方程式)

振幅衰減 $a_i'$ 基於自由空間傳播的雷達方程式 [1]：

(2.11)

其中 $G_t, G_r$ 為天線增益，$\lambda$ 為波長，$\sigma_i$ 為第 $i$ 個目標的雷達截面積（RCS）。

關鍵洞察 ($d^4$ vs $d^2$)：必須注意，雷達訊號功率衰減與 $d_i^4$（雙程）成反比，這與通訊通道（與 $d_i^2$ 成反比）截然不同。這意味著近距離目標與遠距離目標之間的回波功率可能相差 $40 \text{ dB}$ 甚至 $80 \text{ dB}$，導致了巨大的動態範圍（Dynamic Range）問題。此問題將在 2.4 節進一步分析。

相位旋轉 $\phi_i$

相位 $\phi_i$ 是由雙程路徑延遲 $\tau_i = 2d_i/c$ 引起的載波相位旋轉 [1]：

(2.12)

2.3 ISAC 接收訊號模型

本節基於 2.1 節的發射訊號與 2.2 節的通道模型，推導接收端訊號的數學模型。這是連接「系統模型」與「估計演算法」的橋樑。

2.3.1 多目標回波疊加

連續時間模型

在連續時間域，接收訊號 $y(t)$ 是所有 $K$ 個目標回波的疊加，並包含加性雜訊 $n(t)$。每個目標 $i$ 的回波都經歷了振幅衰減 $a_i$、時變延遲 $\tau_i(t)$ 和都卜勒頻移 $f_{d,i}$ [1]：

(2.13)

簡化假設

在汽車雷達的短觀測時間（$N_{\text{sym}} \times T_{\text{sym}} \approx 570 \mu s$）內，目標的距離 $d_i$ 和速度 $v_i$ 變化極小，因此可進行以下合理簡化 [1]：

1. 忽略距離遷移：$\tau_i(t) \approx \tau_i = c_i T_s$。
2. 忽略都卜勒尺度效應：即 $x(t - \tau_i)$ 中的時間尺度變化。

離散時間模型（核心方程式）

經過上述簡化並在 $t = m T_{\text{sym}} + n T_s$ 進行取樣（對應第 $m$ 符號、第 $k$ 樣本），可推導出本研究最關鍵的離散訊號模型 [1]：

(2.14)

其中 $k \in \{0,\dots,N_c-1\}$ 為快時間（距離）索引，$m \in \{0,\dots,N_{\text{sym}}-1\}$ 為慢時間（都卜勒）索引。此方程式的物理意義為：

• $a_i$：第 $i$ 個目標的複數通道衰減（來自 2.2.3 節）。
• $c_i$：第 $i$ 個目標的離散延遲（來自 2.2.1 節）。
• $x[k-c_i, m]$：代表時域的卷積，即第 $i$ 個目標的回波是將發射訊號 $x[m]$ 延遲 $c_i$ 個樣本。
• $e^{-j 2\pi \frac{p_i m}{N_{\text{sym}}}}$：代表相位旋轉，即第 $i$ 個目標的都卜勒效應，表現為在慢時間 $m$ 上的相位線性變化。
• $n[k,m]$：加性高斯白雜訊 (AWGN)。

2.3.2 ISI 效應的數學表達

在 2.1.3 節中，我們定性地描述了 ISI 問題。現在我們可以從 (2.14) 中定量地分析它。

問題出在 $x[k-c_i, m]$ 這一項。當 $c_i$ 很大時（即 $\tau_i > T_{\text{CP}}$）， $k-c_i$ 可能會變成負數。例如，考慮 $k=10$ 且 $c_i=50$（$c_i > P=36$），此時 (2.14) 需要 $x[-40, m]$。

在物理上，$x[-40, m]$ 並不存在。它實際對應的是前一個符號 $x[m-1]$ 的樣本。如 [1] 所示，更完整的線性卷積模型應為：

(2.15)

這證實了 2.1.3 節的結論：當延遲 $c_i$ 超過 CP 長度 $P$ 時，傳統的逐符號（m-by-m）處理方式將會失效，因為 $y[m]$ 的計算依賴於 $x[m]$ 和 $x[m-1]$。我們必須採用一種能夠同時處理這兩個符號的時域方法，這直接導向 2.5 節的感測矩陣構建。

2.4 多目標檢測的挑戰

在進入演算法推導之前，必須先闡明 V2X 雷達感測所面臨的第二個核心挑戰（第一個是 2.1.3 節的 ISI 問題）。這個挑戰來自多目標環境的物理特性，是推動本論文採用 MP-OSIC 演算法的關鍵動機 [1]。

2.4.1 弱目標掩蓋現象 (Weak Target Masking)

在真實 V2X 場景中（如圖 4.1 所示 [1]），雷達同時面對多個 RCS 和距離差異巨大的目標，例如近處的行人（RCS 小，距離近）和遠處的卡車（RCS 大，距離遠）。

如 2.2.3 節所述，回波功率 $\propto \sigma_i / d_i^4$，這導致了巨大的動態範圍。在訊號處理中（例如傳統 2D-FFT 或 MP 演算法），強目標 $i$ 不僅會在其真實位置 $(c_i, p_i)$ 產生主瓣（Mainlobe），還會在整個距離-都卜勒平面上產生旁瓣（Sidelobe）。

「弱目標掩蓋現象」[1] 指的是：強目標的旁瓣功率，高於弱目標的主瓣功率。這將導致演算法（如傳統 MP）錯誤地先檢測到強目標的旁瓣，而不是弱目標的主瓣，從而導致檢測失敗。如 [1] (P.24) 的 2D-FFT RDM 圖所示，由於旁瓣和雜訊基底（Noise Floor）抬高，弱目標（如 T4, T5）幾乎不可見。

2.4.2 問題量化分析 (Quantitative Problem Analysis)

我們使用 [1] (P.21) 的模擬場景（T1-T5）來量化此問題。先前在 [1] 的分析存在一個錯誤認知，即認為遠處的卡車是強目標。現在我們根據 2.2.3 節的雷達方程式 $P \propto \sigma_i / d_i^4$ 進行精確計算：

• 目標 1 (T1)：行人， $d_1 = 16.5 \text{ m}$， $\sigma_1 = 1 \text{ m}^2$ [1]
  • $P_1 \propto 1 / (16.5)^4 \approx 1.35 \times 10^{-5}$
• 目標 5 (T5)：中型車， $d_5 = 244 \text{ m}$， $\sigma_5 = 60 \text{ m}^2$ [1]
  • $P_5 \propto 60 / (244)^4 \approx 1.70 \times 10^{-8}$

正確結論：T1（近處行人）的回波功率，比 T5（遠處車輛）強 $10 \log_{10}(P_1/P_5) \approx \mathbf{29} \text{ dB}$。

這一計算結果與 [1] (P.22) 的 OSIC 流程圖（Round 1 檢測到最強目標為 T1 @ 16.5 m）完全吻合。

動機分析：

1. T1 (強目標) 比 T5 (弱目標) 高 29 dB。
2. 假設 OFDM 訊號（經窗函數處理後）的旁瓣抑制比（SLL）為 -30 dBc（一個典型值）。
3. T1 的最強旁瓣功率，相對於 T5 的主瓣功率，約為 $29 \text{ dB} - 30 \text{ dB} = \mathbf{-1} \text{ dB}$。

這意味著 T1 的旁瓣能量幾乎與 T5 的主瓣能量一樣大。在存在雜訊的情況下，傳統 MP 演算法極有可能在 T5 之前錯誤地檢測到 T1 的旁瓣。這就是為什麼必須使用 OSIC（有序連續干擾消除）：我們必須先檢測 T1 (16.5 m)，然後在數學上將其（包括其所有旁瓣）從接收訊號 $y[m]$ 中減去，然後才能在乾淨的殘差（Residual）中安全地檢測到 T5 (244 m)。

2.5 感測矩陣構建 (Sensing Matrix Construction)

本節推導本章的最終數學模型，它將 2.1.3 節和 2.3.2 節中提出的 ISI 問題，轉化為一個標準的稀疏訊號重建問題。此模型是第三章 MP-OSIC 演算法的基礎。

2.5.1 矩陣形式的接收訊號

我們首先固定慢時間索引 $m$。(2.14) 中的離散訊號 $y[k,m]$ 可重寫為矩陣形式 [1]：

(2.16)

其中：

• $\mathbf{y}[m] \in \mathbb{C}^{N_c \times 1}$：是第 $m$ 個符號的接收訊號向量，$\mathbf{y}[m] = [y[0,m], \dots, y[N_c-1,m]]^T$。
• $\mathbf{X}[m] \in \mathbb{C}^{N_c \times L}$：是「感測矩陣」，由發射訊號構成（詳見 2.5.2 節）。$L$ 為最大通道延遲，本文設 $L = N_c = 512$ [1]。
• $\mathbf{n}[m] \in \mathbb{C}^{N_c \times 1}$：是雜訊向量。
• $\mathbf{h}[m] \in \mathbb{C}^{L \times 1}$：是待求解的「通道脈衝響應」（CIR）向量。

$\mathbf{h}[m]$ 是一個稀疏向量。在 $L=512$ 個可能的延遲 $c_i$ 中，只有 $K$ 個（$K \ll L$）非零項，其值為 $a_i e^{-j 2\pi \frac{p_i m}{N_{\text{sym}}}}$ [1]。

第三章演算法的任務，就是從已知的 $\mathbf{y}[m]$ 和 $\mathbf{X}[m]$ 中，求解這個稀疏向量 $\mathbf{h}[m]$。

2.5.2 矩陣 $\mathbf{X}[m]$ 的 Toeplitz 結構

感測矩陣 $\mathbf{X}[m]$ 完全由第 $m$ 個符號的發射時域訊號 $x[n,m]$ 構成。根據 (2.14) 的卷積關係 $x[k-c_i, m]$，$\mathbf{X}[m]$ 具有 Toeplitz 結構 [1]：

(2.17)

2.5.3 應對 ISI 效應的結構 (Oliari 方法)

此模型的關鍵在於：如何處理 (2.17) 中 $x[-k,m]$ 這樣的負索引？[1]

答案取決於延遲 $l$（即矩陣的列索引）是否超過了 CP 長度 $P=36$。

情況 1：$l \le P$ (延遲在 CP 範圍內)

當延遲在 CP 保護範圍內時，OFDM 的循環特性生效。$x[-k, m]$ 對應的物理樣本是 $x[m]$ 符號的「尾部」，即：

在這種情況下，感測矩陣 $\mathbf{X}[m]$ 是一個循環矩陣 (Circulant Matrix)。$\mathbf{y} = \mathbf{Xh}$ 的卷積運算可以在頻域中等效為 $Y = S \cdot H$，這就是傳統 2D-FFT 方法的數學基礎。

情況 2：$l > P$ (延遲超過 CP，產生 ISI)

當延遲 $l$ 超過 $P$（例如 $l = 50$），我們需要 $x[-50, m]$。這個樣本不再具有循環特性。如 2.3.2 節所分析，它對應的真實物理訊號是來自前一個符號 $x[m-1]$ 的結尾。

Oliari 方法 [1] 的精髓在於在時域精確地構建這個矩陣。令 $z[m] \triangleq x[m-1]$ 為前一個符號的時域訊號。當構建 $\mathbf{X}[m]$ 的第 $l$ 列（其中 $l > P$）時：

• 該列頂部的 $l-P$ 個元素（對應負索引）必須由 $z[m]$ 填入。
• 該列底部的 $N_c - (l-P)$ 個元素（對應正索引）由 $x[m]$ 填入。

結論：

透過構建這個混合了 $x[m]$ 和 $x[m-1]$ 樣本的時域感測矩陣 $\mathbf{X}[m]$ [1]，我們成功地將一個複雜的 ISI 問題，轉化為一個標準的稀疏訊號重建問題：$\mathbf{y}[m] = \mathbf{X}[m] \mathbf{h}[m] + \mathbf{n}[m]$。

至此，本章已完整建立了系統模型 $\mathbf{X}[m]$ 和待解變數 $\mathbf{h}[m]$。第三章「MP-OSIC 演算法」的任務，就是如何從已知的 $\mathbf{y}[m]$ 和 $\mathbf{X}[m]$ 中，高效且準確地求解稀疏向量 $\mathbf{h}[m]$。