CH3. 數學式、算法說明

3.1 全域常數與 OFDM 參數設定

目的：定義物理常數、載波與頻寬選項，並由頻寬導出 OFDM 網格與時間參數。

• 光速：c0 = 3 × 10^8 (m/s)
• 載波頻率：f_c = 7 × 10^9 (Hz)
• 波長：λ = c_0 / f_c
• 頻寬：BW \in \{20, 40, 80, 160, 320\}\,\text{MHz}
• 子載波數：N（依 BW 決定，例：BW=320 MHz 時 N=4096）
• 子載波間隔：Δf = \dfrac{BW}{N}
• 符號時長（不含 CP）：T_\text{sym} = \dfrac{1}{\Delta f}
• 循環字首（CP）比例：T_\text{cp} = \dfrac{T_\text{sym}}{4}，總時長：T_\text{sym+cp} = T_\text{sym} + T_\text{cp}
• 距離解析度（以整體頻寬）：R_\text{res} = \dfrac{c_0}{2\,BW}

HTML 方程式（MathML）：

$$\mathrm{\Delta f}=\frac{\mathrm{BW}}{N},T\_\mathrm{sym}=\frac{1}{\mathrm{\Delta f}},T\_\mathrm{cp}=\frac{T}{\_},R\_\mathrm{res}=\frac{c}{\_}$$

主要變數對照： N_Subcarrier → N、delta_f → Δf、T_Symbol → T_sym、Tcp → T_cp、T_symbol_addcp → T_sym+cp。

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3.2 TX 調變：QAM 映射與子載波配置

目的：將位元串映射為 QAM 符號，並依索引將 導頻 / 數據 / 直流(DC) / 保護帶(NULL) 放入頻域網格。

• 位元→QAM：s[k] = \text{QAMmap}(b)，其中 bitsPerSymbol 決定調變階數 M=2^{\text{bitsPerSymbol}}。
• 頻域網格：S[n,\ell] 為第 \ell 個符號、子載波索引 n\in\{0,\dots,N-1\} 的頻域值。
• 導頻插入：S[n_p,\ell] = p_\ell（此處交錯使用 +1 與 -1）。
• 數據載波：S[n_d,\ell] = s[k]；直流與保護帶設為 0。

$$S_{n,\ell }=\text{case}\{\begin{array}{ll}{p}_{\ell }& \text{if}n\in \Omega \_\mathrm{pilot}\\ s\left[k\right]& \text{if}n\in \Omega \_\mathrm{data}\\ 0& \text{if}n\in \text{DC or NULL}\end{array}$$

主要變數對照： data_subcarriers → S、pilot_indices → Ω_pilot、data_indices → Ω_data。

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3.3 OFDM IFFT 與 CP 添加（時域訊號）

目的：將每個符號的頻域網格做 IFFT 生成時域樣本，並添加 CP。

$$x_{m,\ell }=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum _{n=0}^{N-1}{S}_{n,\ell }e^\{j2\pi \frac{\mathrm{n\; m}}{N}\},m=0,1,...,N-1$$

加上 CP 後每個符號長度為 N+N_\text{CP}：

$$x_{\mathrm{cp},\ell }=[x_{N-N\_\mathrm{CP}},...,x_{N-1},x_0,...,x_{N-1}]$$

主要變數對照： ifft_data → x[m,ℓ]、ofdm_with_cp → x_cp、N_CP_length → N_CP。

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3.4 前導碼與幀結構（ZC＋資料幀＋間隔）

目的：以 CAZAC/Zadoff–Chu 序列作為前導，利於到達時間偵測與對齊。

• ZC 序列（長度 Nzc、根 u）：

$$z_k=e^\{\mathrm{-j}\frac{\pi }{N}uk(k+1)\},k=0,...,N\_\mathrm{zc}-1$$

發送幀： waveform = [ZC, OFDM 幀, 零間隔]，並做幅度正規化 /max|·|。

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3.5 RX 前處理：濾波、ZC 偵測、切幀、去 CP、FFT

目的：抑制 DC 與 10 MHz 雜訊（高通 + 陷波），以 ZC 進行最大相關定位起點，然後依 N+N_{CP} 切幀 → 去 CP → FFT。

• 相關偵測：c[\tau] = \sum_n r[n]\,z^\*(n-\tau)，取 \arg\max_\tau |c[\tau]| 定位幀起始。
• 去 CP 後 FFT：

$$R_{n,\ell }=\sum _{m=0}^{N-1}{r}_{m,\ell }e^\{-j2\pi \frac{\mathrm{n\; m}}{N}\}$$

主要變數對照： rxWave → r[n]、Rx_mat_time/Rx_mat_removeCP/Rx_mat_fft → r[m,ℓ] 與其 FFT。

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3.6 CFR 估計與「動態低頻抑制＆高頻補償」權重法

目的：以已知 TX 子載波值作為等化參考，估計通道頻率響應 H；再用觀測的能量偏移曲線 x_m 對頻譜做動態分段權重，降低低頻失真、補償高頻能量。

CFR（Channel Frequency Response）：

$$H_{n,\ell }=\frac{R_{n,\ell }}{S_{n,\ell }},n\in \Omega \_\mathrm{data}\backslash cup\backslash mi>\Omega \_\mathrm{pilot}$$

能量平均與歸一化：

$$\mathrm{\backslash overline\{H\}}\left[m\right]=\frac{1}{L}\sum _{\ell =1}^{L}H\left[m,\ell \right],E\_H\left[m\right]=\left|\mathrm{\backslash overline\{H\}}\right[m\left]\right|^2$$ $$\tilde{E}\_H=\frac{1}{M}\sum _{m=1}^{M}E\_H\left[m\right],\mathrm{\backslash overline\{E\}}\_H\left[m\right]=\frac{E}{\_},x\left[m\right]=\backslash mi>\backslash overline\{E\}\_H\left[m\right]-1$$

動態權重（概念）：以平滑曲線 s[m] 尋找各段峰/谷，分段給權重 w_i，形成遮罩 w[m]，對 R（或 H）之對應頻率索引施加：

$$R_{n,\ell }\leftarrow R_{n,\ell }\times w\left[\mathrm{m(n)}\right]$$

主要變數對照： H_est → H、moto.E_H, moto.E_H_avg, moto.E_H_bar, moto.x_m → E_H, Ē_H, \overline{E}_H, x[m]、dynamic_lowfreq_atten44 → w[m]。

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3.7 能量法距離估計：平均能量模型與參數搜尋

目的：以「平均歸一化能量偏移」x[m] 擬合為一個近似餘弦模型，並以殘差平方極小化求距離 \rho。

座標對齊：將實際子載波索引 n\in\Omega_\text{data} 映射成對稱索引 m（中心 DC 為 0）：

$$m=n-\frac{N}{2}$$

模型：

$$^x\left[m\right]=A+B\cos (C+Dm),D=\frac{4\pi f\_s\rho }{c\_0N}$$

最佳化目標（暴力搜尋）：

$$\text{find}\left(A,B,C,\rho \right)\text{to minimize}J=\sum _m^{}(^x[m]-x[m\left]\right)^2$$

實作上以 A 由波形中心、B=\max|x[m]|、C\in[0,2\pi) 取樣，\rho 於指定範圍（例 0.1–50 m，以 0.1 m 刻度）窮舉，取得最小殘差對應的 \rho^\* 即距離估計。

主要變數對照： Func_Brust_force()、best_params = [A, C, ρ, min_error]、best_estimated_model → ^x[m]。

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3.8 傳統 Range Profile（等化→去靜態→IFFT→相干積分）

目的：提供與能量法互補的距離估計：先等化頻域通道，扣除慢時間平均的靜態成分，再 IFFT 得到延遲剖面並相干積分取峰值。

1. 等化： H_f[n,\ell]=R[n,\ell]/S[n,\ell]
2. 去靜態： H_\text{clr}[n,\ell]=H_f[n,\ell]-\dfrac{1}{L}\sum_{\ell}H_f[n,\ell]
3. 延遲域： h[k,\ell]=\text{IFFT}_n\{H_\text{clr}[n,\ell]\}
4. 相干積分： P[k]=\left|\sum_{\ell}h[k,\ell]\right|
5. 距離軸： R[k]=k\cdot R_\text{res} = k\cdot \dfrac{c_0}{2\,BW}

$$k=\text{argmax}P\left[k\right],\mathrm{\backslash hat\{R\}}=k\backslash cdot\frac{c}{\_}$$

主要變數對照： Hf → H_f、Hf_clr → H_clr、h_delay → h[k,ℓ]、rangeProf → P[k]、rangeAxis → R[k]。

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3.9 2D FFT（Range–Doppler）與 0-Doppler 切片距離

目的：以 2D FFT 取得 Range–Doppler 圖；穩態或低速目標可取 0-Doppler 切片估距。

1. H_R[n,\ell] = \text{IFFT}_n\{H[n,\ell]\}（range 維）
2. H_{RD}[n,q] = \text{FFT}_\ell\{H_R[n,\ell]\}（Doppler 維）
3. 0-Doppler 切片：H_{R0}[n] = H_{RD}[n,q_0]，q_0 為中心頻 bin
4. 估距：\hat{R} = \arg\max_n |H_{R0}[n]| \times \dfrac{c_0}{2\,BW}

主要變數對照： H_range_2DFFT, H_RDM_2DFFT、H_range_profile、estimated_distance_2DFFT。

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3.10 取樣率不匹配之重採樣等化（RX fs → TX 網格）

目的：實測 RX 取樣率 f_s^\text{rx} 與 TX 網格（N 點 IFFT）不一致時，先以 T_\text{sym+cp} 切片、去 CP，將每段長度 noCP\_rx\_len 重採樣為 N，再進入等化與 Range Profile。

• 切片參數： symLen\_rx = \lfloor T_{\text{sym+cp}}\cdot f_s^\text{rx} \rceil、cpLen\_rx = \lfloor T_\text{cp}\cdot f_s^\text{rx} \rceil
• 重採樣映射：將每欄長度 L_\text{rx}=symLen\_rx - cpLen\_rx 之向量 y\in\mathbb{C}^{L_\text{rx}} 轉為 y'\in\mathbb{C}^{N}。理想化可視為時間重參數化 m' = m \cdot \tfrac{N}{L_\text{rx}} 並內插。

$$y\text{'}\left[\mathrm{m\text{'}}\right]\approx y[m=\mathrm{m\text{'}}\cdot \frac{L}{\_}],\mathrm{m\text{'}}=0,...,N-1$$

重採樣後的流程與 §3.8 相同：FFT → 等化 → 去靜態 → IFFT → 相干積分 → 峰值估距。

主要變數對照： symLen_rx, cpLen_rx, noCP_rx_len、RxNoCP_rx → resample → RxNoCP_eq (N×numSym)、後續 RxF, Hf, Hf_clr, h_delay, rangeProf。

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3.11 PBDC 直達徑對消（投影法）

目的：以 TX 参考（上採樣到 RX 長度）建立卷積矩陣 R，最小平方解出濾波器 w 以重建強徑成分並對消。

1. 參考對齊：每符號估最優複數尺度 a_k 使 y_k/a_k 與參考 r_k 相位對齊： $$a\_k=\frac{r^{}}{y}{r}^{}r+\mathrm{\backslash epsilon}$$
2. 投影對消（Tikhonov 正則）： $$w=(R^{}R+\mathrm{\backslash epsilon}I)^\{-1\}{R}^{}y,y\_\text{clean}=y-Rw$$

對消後再做「重採樣到 N」→ FFT 等化 → Range Profile（§3.10–3.8），即可提升近距強徑下的微弱目標可見度。

主要變數對照： ref6144 → r_k、RxNoCP_rx → y_k、R=convmtx(r_k, Ltap)、w、y_clean、epsR → ε、cancel_dB。

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3.12 變數彙總（常見符號與程式對應）

符號	意義	程式變數
c0	光速	c0
fc	載波頻率	fc
BW	頻寬	BW
N	子載波數	N_Subcarrier
Δf	子載波間隔	delta_f
Tsym, Tcp	符號/CP 時長	T_Symbol, Tcp
S[n,ℓ]	頻域網格值（data/pilot/DC/NULL）	data_subcarriers（含導頻與資料）
R[n,ℓ]	RX 頻域 FFT（去 CP 後）	Rx_mat_fft or RxF
H[n,ℓ]	通道頻率響應	H_est, Hf
EH[m], ĒH	平均能量、其均值	moto.E_H, moto.E_H_avg
x[m]	平均歸一化能量偏移	moto.x_m
m	對稱化子載波索引	m = data_indices - N/2
^x[m]	能量模型擬合	best_estimated_model
ρ	距離參數	best_params(3)
Rres	距離解析度	Rres = c0/(2*BW)