PART 2：中3数学 全単元完全解説
第1章 式の展開と因数分解
■ 基礎授業：展開と因数分解はコインの裏表
中3の最初に習うのが「式の展開」と「因数分解」です。この2つはコインの裏表の関係にあります。
- 展開：かけ算の形を、かっこを外して足し算の形にすること
- 因数分解：足し算の形を、かけ算の形にすること
【展開の4公式（絶対暗記）】
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a−b)² = a² − 2ab + b²
(a+b)(a−b) = a² − b²
(x+a)(x+b) = x² + (a+b)x + ab
【因数分解の4公式】展開の公式を逆にしたものです。
a² + 2ab + b² = (a+b)²
a² − 2ab + b² = (a−b)²
a² − b² = (a+b)(a−b)
x² + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)
(a+b)² の展開で 2ab を忘れるミスが最も多い。(a+b)² = a² + b² と書いたら即アウト。中大附属の大問1では、この展開公式を使った計算が必ず出ます。
■ 基礎問題（5問）
問1. 次の式を展開しなさい。
(1) (x+4)² (2) (x−3)² (3) (x+5)(x−5)
問2. 次の式を展開しなさい。
(1) (x+2)(x+7) (2) (x−3)(x+5)
問3. 次の式を因数分解しなさい。
(1) x²+8x+15 (2) x²−6x+9
問4. 次の式を因数分解しなさい。
(1) x²−16 (2) x²+5x−24
問5. 次の式を展開しなさい。
(1) 3(x−2)(x+1) (2) (a+b+c)²
■ 解答・解説
問1 解答：(1) x²+8x+16 (2) x²−6x+9 (3) x²−25
解説：(1)(x+4)²=x²+2·4x+16=x²+8x+16。
問2 解答：(1) x²+9x+14 (2) x²+2x−15
解説：かけて14、足して9の組み合わせは2と7。
問3 解答：(1) (x+3)(x+5) (2) (x−3)²
解説：(2) x²−6x+9は(a−b)²の形。
問4 解答：(1) (x+4)(x−4) (2) (x+8)(x−3)
問5 解答：(1) 3x²−3x−6 (2) a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca
■ 標準問題（5問）
問1. 因数分解を利用して計算しなさい。
(1) 101×99 (2) 55²−45²
問2. x=3+√2のとき、次の式の値を求めなさい。
(1) x²−2x+1 (2) x²−1
問3. 因数分解しなさい。
(1) 2x²+8x+6 (2) x²−y²+2x+2y
問4. (x+y)²−(x−y)²を計算しなさい。
問5. 連続する2つの整数の積に、大きい方の整数を加えた数は平方数になることを証明しなさい。
■ 解答・解説
問1 解答：(1) 9999 (2) 1000
解説：(1)101×99=(100+1)(100−1)=100²−1=9999。(2)(55+45)(55−45)=100×10=1000。
問2 解答：(1) 6+4√2 (2) 10+6√2
解説：(1)(x−1)²=(2+√2)²=6+4√2。
問3 解答：(1) 2(x+1)(x+3) (2) (x+y)(x−y+2)
問4 解答：4xy
問5 解答：n(n+1)+(n+1)=(n+1)(n+1)=(n+1)²。よって平方数。
■ 応用問題（5問）
問1. 連続する3つの整数の積は6の倍数であることを証明しなさい。
問2. x+y=5, xy=3のとき、x²+y²の値を求めなさい。
問3. x²+4x+4を因数分解し、x=−2+√3のときの値を求めなさい。
問4. (a+b)²=a²+2ab+b²を利用して、101²を計算しなさい。
問5. 2つの整数a, bがあり、a²−b²=24を満たします。a, bの値をすべて求めなさい。ただし、a>b>0とします。
■ 解答・解説
問1 解答：連続する3つの整数をn, n+1, n+2とします。この中には必ず偶数と3の倍数が含まれます。2と3は互いに素なので、積は6の倍数です。
問2 解答：19。x²+y²=(x+y)²−2xy=25−6=19。
問3 解答：(x+2)²、値は3。
問4 解答：10201。100²+2·100·1+1²=10201。
問5 解答：(a,b)=(7,5),(5,1)。(a+b)(a−b)=24の組み合わせ。
第2章 平方根
■ 基礎授業：平方根の基本
平方根の性質
- (√a)² = a
- √a × √b = √(ab)
- √a ÷ √b = √(a/b)
根号の簡約：√48 = √(16×3) = 4√3
分母の有理化：1/√3 = √3/3
中大附属の計算問題では、「分母の有理化」が頻出。有理化を忘れると減点される。1/√2は必ず√2/2に。
■ 基礎問題（5問）
問1. 次の数の平方根を求めなさい。
(1) 16 (2) 0.25 (3) 5
問2. 次の数を簡単にしなさい。
(1) √32 (2) √75 (3) √0.36
問3. 次の計算をしなさい。
(1) √3×√12 (2) √18÷√2
問4. 次の計算をしなさい。
(1) 2√3+3√3 (2) √8−√2
問5. 次の分母を有理化しなさい。
(1) 1/√3 (2) 2/√5
■ 解答・解説
問1 解答：(1) ±4 (2) ±0.5 (3) ±√5
問2 解答：(1) 4√2 (2) 5√3 (3) 0.6
問3 解答：(1) 6 (2) 3
問4 解答：(1) 5√3 (2) √2
問5 解答：(1) √3/3 (2) 2√5/5
■ 標準問題（5問）
問1. 次の数の大小を不等号で表しなさい。√7, 2√2, 3
問2. √13の整数部分と小数部分を求めなさい。
問3. 次の計算をしなさい。(√3+√2)²
問4. 次の計算をしなさい。(√5+2)(√5−2)
問5. √(n²+9n+20)が整数となるような自然数nをすべて求めなさい。
■ 解答・解説
問1 解答：2√2 < 3 < √7。2乗して比較。
問2 解答：整数部分3、小数部分√13−3。
問3 解答：5+2√6
問4 解答：1
問5 解答：n=1, 8。(n+4)(n+5)が平方数になる条件。
■ 応用問題（5問）
問1. √(24n)が整数となるような最小の自然数nを求めなさい。
問2. √(n²+9n+20)が整数となるような自然数nをすべて求めなさい。
問3. 1/√2 + 1/√8 を計算しなさい。
問4. (√3+√2)/(√3−√2) を計算しなさい。
問5. a=√5+2, b=√5−2のとき、a²−b²の値を求めなさい。
■ 解答・解説
問1 解答：n=6。24=2³×3、平方数にするには2×3=6。
問2 解答：n=1, 8。
問3 解答：3√2/4。
問4 解答：5+2√6。分母を有理化。
問5 解答：8√5。a²−b²=(a+b)(a−b)=(2√5)(4)=8√5。
第3章 2次方程式
■ 基礎授業：2次方程式の3つの解き方
① 平方根の考え方：x²=a → x=±√a
② 因数分解：(x−a)(x−b)=0 → x=a, b
③ 解の公式：ax²+bx+c=0 のとき、
x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a
中大附属では解の公式を必ず暗記。2025年度大問1(5)では、x(3x−4)=x(7x+6) という2次方程式が出題されました。
■ 基礎問題（5問）
問1. 次の2次方程式を解きなさい。
(1) x²=25 (2) 3x²=12
問2. 因数分解して解きなさい。
(1) x²−7x+12=0 (2) x²+3x−10=0
問3. 解の公式を使って解きなさい。
(1) x²−2x−1=0 (2) x²+4x+1=0
問4. 次の2次方程式を解きなさい。
(1) (x−3)²=5 (2) x²−6x=0
問5. x²+ax+6=0の解の1つがx=2のとき、aの値ともう1つの解を求めなさい。
■ 解答・解説
問1 解答：(1) x=±5 (2) x=±2
問2 解答：(1) x=3, 4 (2) x=2, −5
問3 解答：(1) x=1±√2 (2) x=−2±√3
問4 解答：(1) x=3±√5 (2) x=0, 6
問5 解答：a=−5、もう1つの解はx=3
■ 標準問題（5問）
問1. 縦が横より3cm短い長方形で、面積が40cm²です。縦と横の長さを求めなさい。
問2. 連続する2つの正の整数があり、それぞれの2乗の和が85です。この2つの整数を求めなさい。
問3. ある数xを2乗して5倍した数は、xの2倍に24を加えた数に等しいです。xを求めなさい。
問4. 1辺が10cmの正方形があります。縦をx cm長くし、横をx cm短くして長方形を作ったところ、面積が96cm²になりました。xの値を求めなさい。
問5. x²−4x+3=0の解がx²+ax+b=0の解と等しいとき、aとbの値を求めなさい。
■ 解答・解説
問1 解答：縦5cm、横8cm
問2 解答：6と7
問3 解答：x=12/5, −2
問4 解答：x=2
問5 解答：a=−4, b=3
■ 応用問題（5問）
問1. 放物線y=x²と直線y=2x+3の交点の座標を求めなさい。
問2. x²−2x−4=0の解をα, βとするとき、α+βとαβの値を求めなさい。
問3. x²+3x−1=0の解を求めなさい。
問4. 面積が30cm²の長方形があり、縦が横より1cm長いです。縦と横の長さを求めなさい。
問5. x²−6x+9=0の解を求め、この方程式が重解をもつことを説明しなさい。
■ 解答・解説
問1 解答：(3, 9), (−1, 1)
問2 解答：α+β=2, αβ=−4
問3 解答：x=(−3±√13)/2
問4 解答：縦6cm、横5cm
問5 解答：x=3（重解）。(x−3)²=0。
第4章 関数 y=ax²
■ 基礎授業：2乗に比例する関数
グラフの特徴
- y=ax²のグラフは原点を通る放物線
- a>0：下に凸（谷の形）、a<0：上に凸（山の形）
- 変化の割合は一定ではなく、xがpからqまで変化するときの変化の割合は a(p+q)
中大附属では変化の割合が頻出。2025年度大問1(6)では、y=ax²とy=−2x−2のxの変域が−1≦x≦3のとき、yの変域が一致するような定数aの値を求める問題が出題されています。
■ 基礎問題（5問）
問1. x=2のときのyの値を求めなさい。
(1) y=3x² (2) y=−x²
問2. y=2x²で、xが1から3まで変化するときの変化の割合を求めなさい。
問3. y=ax²のグラフが点(2, 8)を通るとき、aの値を求めなさい。
問4. y=−2x²で、xの変域が−1≦x≦3のとき、yの変域を求めなさい。
問5. y=x²で、xが−2から4まで変化するときの変化の割合を求めなさい。
■ 解答・解説
問1 解答：(1) 12 (2) −4
問2 解答：8。a(p+q)=2(1+3)=8。
問3 解答：a=2
問4 解答：−18≦y≦0
問5 解答：2。a(p+q)=1(−2+4)=2。
■ 標準問題（5問）
問1. y=x²とy=2x+3の交点の座標を求めなさい。
問2. y=2x²とy=−4x+6の交点の座標を求めなさい。
問3. y=ax²で、xが1から3まで変化するときの変化の割合が8です。aの値を求めなさい。
問4. y=x²で、xの変域が−2≦x≦3のとき、yの変域を求めなさい。
問5. y=−x²で、xの変域が−3≦x≦2のとき、yの変域を求めなさい。
■ 解答・解説
問1 解答：(3, 9), (−1, 1)
問2 解答：(1, 2), (−3, 18)
問3 解答：a=2。a(1+3)=8 → 4a=8。
問4 解答：0≦y≦9
問5 解答：−9≦y≦0
■ 応用問題（5問）
問1. 放物線y=x²上に2点A(−2, 4), B(4, 16)があります。直線ABとy軸の交点をCとするとき、△OACの面積を求めなさい。
問2. y=x²のグラフ上に、x座標がそれぞれ−1, 2である2点A, Bがあります。△OABの面積を求めなさい。
問3. 放物線y=ax²が点(2, 8)を通ります。この放物線と直線y=4x−2の交点の座標を求めなさい。
問4. y=x²で、xがaからa+2まで変化するときの変化の割合を求めなさい。
問5. 放物線y=x²と直線y=x+6の交点をA, Bとします。線分ABの長さを求めなさい。
■ 解答・解説
問1 解答：8。直線ABはy=2x+8、C(0, 8)。△OAC=1/2×8×2=8。
問2 解答：3。直線ABはy=x+2、C(0, 2)。△OAB=△OAC+△OBC=1+2=3。
問3 解答：(1, 2)のみ。
問4 解答：2a+2。a(p+q)=1(a+a+2)=2a+2。
問5 解答：5√2。交点(−2, 4), (3, 9)。
第5章 相似な図形
■ 基礎授業：相似の基本
相似な図形の性質
- 対応する角はすべて等しい
- 対応する辺の比はすべて等しい（相似比）
- 面積比は相似比の2乗、体積比は相似比の3乗
三角形の相似条件
- 3組の辺の比がすべて等しい
- 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
- 2組の角がそれぞれ等しい（最もよく使う）
中大附属では「2組の角がそれぞれ等しい」が頻出。2025年度大問2では、二等辺三角形の中に二等辺三角形を生み、相似をつくる問題が出題されています。
■ 基礎問題（5問）
問1. △ABC∽△DEFで、相似比が2:3です。AB=6cmのとき、DEの長さを求めなさい。
問2. 相似比が3:5の相似な三角形で、小さい方の面積が18cm²のとき、大きい方の面積を求めなさい。
問3. △ABCで、DE∥BCです。AD=4cm、DB=2cm、DE=6cmのとき、BCの長さを求めなさい。
問4. 相似比が1:3の相似な立体で、小さい方の体積が5cm³のとき、大きい方の体積を求めなさい。
問5. △ABC∽△DEFで、AB=4cm、DE=6cm、BC=6cmのとき、EFの長さを求めなさい。
■ 解答・解説
問1 解答：9cm
問2 解答：50cm²。面積比9:25。
問3 解答：9cm。相似比2:3。
問4 解答：135cm³。体積比1:27。
問5 解答：9cm
■ 標準問題（5問）
問1. △ABCで、DE∥BCです。AD=6cm、DB=4cm、AE=9cmのとき、ECを求めなさい。
問2. △ABCで、辺AB, ACの中点をそれぞれM, Nとします。BC=12cmのとき、MNを求めなさい。
問3. 台形ABCDで、AD∥BC、AD=6cm、BC=10cmです。辺AB, CDの中点をE, Fとするとき、EFを求めなさい。
問4. △ABCで、DE∥BCです。AD:DB=3:2、DE=9cmのとき、BCを求めなさい。
問5. 平行四辺形ABCDで、辺ABの中点をE、辺CDの中点をFとします。線分EFは辺AD、BCと平行であることを証明しなさい。
■ 解答・解説
問1 解答：6cm。AD:DB=AE:EC。
問2 解答：6cm。中点連結定理。
問3 解答：8cm。(AD+BC)/2。
問4 解答：15cm。AD:AB=3:5。
問5 解答：四角形AEFDと四角形BEFCが合同であることを示し、EF∥AD∥BCを導きます。
■ 応用問題（5問）
問1. △ABCで、DE∥BCです。AD:DB=1:2のとき、△ADEと△ABCの面積比を求めなさい。
問2. △ABCで、DE∥BCです。△ADEの面積が4cm²、台形DBCEの面積が12cm²のとき、AD:DBを求めなさい。
問3. 相似な2つの円柱があり、相似比が2:3です。小さい方の表面積が16π cm²のとき、大きい方の表面積を求めなさい。
問4. 平行四辺形ABCDで、辺BCの中点をE、辺CDの中点をFとします。△AEFの面積は平行四辺形ABCDの面積の何倍ですか。
問5. △ABCで、辺ABを3:1に内分する点をD、辺ACを3:1に内分する点をEとします。△ADEと△ABCの面積比を求めなさい。
■ 解答・解説
問1 解答：1:9。相似比1:3。
問2 解答：1:1。△ABC=16cm²、相似比1:2。
問3 解答：36π cm²。表面積比4:9。
問4 解答：3/8倍。
問5 解答：9:16。相似比3:4。
第6章 円の性質
■ 基礎授業：円周角の定理
円周角の定理
- 同じ弧に対する円周角は等しい
- 円周角は中心角の半分
- 直径に対する円周角は90°
円に内接する四角形の性質
- 対角の和は180°
- 外角は、それと隣り合わない内角に等しい
中大附属では「直径に対する円周角は90°」が頻出。この性質を使って直角三角形を見つけ、三平方の定理と組み合わせる問題がよく出ます。
■ 基礎問題（5問）
問1. ∠AOB=80°のとき、同じ弧ABに対する円周角∠APBを求めなさい。
問2. ABが直径のとき、∠APBを求めなさい。
問3. ∠APB=40°のとき、中心角∠AOBを求めなさい。
問4. 円Oの周上に3点A, B, Cがあり、∠ABC=60°です。弧ACに対する円周角∠ADCを求めなさい。
問5. 円に内接する四角形ABCDで、∠A=100°のとき、∠Cを求めなさい。
■ 解答・解説
問1 解答：40°
問2 解答：90°
問3 解答：80°
問4 解答：60°
問5 解答：80°
■ 標準問題（5問）
問1. 円に内接する四角形ABCDで、∠A=70°のとき、∠Cを求めなさい。
問2. 円に内接する四角形ABCDで、∠B=110°のとき、∠Dを求めなさい。
問3. ∠APB=∠AQBとなる点P, Qが同じ側にあるとき、4点A, B, P, Qは同じ円周上にあることを説明しなさい。
問4. 円Oの周上に3点A, B, Cがあり、∠BAC=50°です。弧BCに対する中心角∠BOCを求めなさい。
問5. ABが直径、∠ABC=30°のとき、∠BACを求めなさい。
■ 解答・解説
問1 解答：110°
問2 解答：70°
問3 解答：円周角の定理の逆より、4点A, B, P, Qは同じ円周上にあります。
問4 解答：100°
問5 解答：60°
■ 応用問題（5問）
問1. 円Oの周上に点A, B, C, Dがあり、弦ABと弦CDが点Pで交わっています。△APC∽△DPBを証明しなさい。
問2. ABが直径、∠ABC=30°、AC=3cmのとき、ABの長さを求めなさい。
問3. 円に内接する四角形ABCDで、∠A=80°、∠B=100°のとき、∠C, ∠Dを求めなさい。
問4. 円Oの半径が5cmで、中心Oから弦ABまでの距離が3cmのとき、弦ABの長さを求めなさい。
問5. ∠APB=40°、∠AQB=40°のとき、4点A, B, P, Qが同じ円周上にあることを証明しなさい。
■ 解答・解説
問1 解答：対頂角と円周角の定理を組み合わせて証明。
問2 解答：6cm。∠ACB=90°、AB=2AC。
問3 解答：∠C=100°、∠D=80°
問4 解答：8cm。三平方の定理。
問5 解答：円周角の定理の逆より証明。
第7章 三平方の定理
■ 基礎授業：三平方の定理
三平方の定理：直角三角形の直角をはさむ2辺をa, b、斜辺をcとすると、
a² + b² = c²
よく使う辺の比（絶対暗記）
| 三角形 | 辺の比 |
|---|
| 3辺が整数 | 3:4:5 |
| 直角二等辺三角形 | 1:1:√2 |
| 30°・60°・90° | 1:2:√3 |
中大附属では三平方の定理が毎年必ず出題される。2025年度大問1(9)では、円錐と球の表面積が等しいときの球の体積を求める問題が出題されています。
■ 基礎問題（5問）
問1. 直角をはさむ2辺が3cm、4cmのとき、斜辺を求めなさい。
問2. 斜辺が13cm、1辺が5cmのとき、残りの辺を求めなさい。
問3. 1辺が6cmの正方形の対角線を求めなさい。
問4. 1辺が4cmの正三角形の高さを求めなさい。
問5. 直角をはさむ2辺が5cm、12cmのとき、斜辺を求めなさい。
■ 解答・解説
問1 解答：5cm
問2 解答：12cm
問3 解答：6√2cm
問4 解答：2√3cm
問5 解答：13cm
■ 標準問題（5問）
問1. 縦3cm、横4cm、高さ5cmの直方体の対角線を求めなさい。
問2. 底面の半径が3cm、母線が5cmの円錐の高さを求めなさい。
問3. 半径5cmの球を、中心から3cmの距離にある平面で切断したとき、切り口の円の面積を求めなさい。
問4. 1辺が4cmの立方体の対角線を求めなさい。
問5. 1辺が6cmの正四面体の高さを求めなさい。
■ 解答・解説
問1 解答：5√2cm
問2 解答：4cm
問3 解答：16π cm²
問4 解答：4√3cm
問5 解答：2√6cm
■ 応用問題（5問）
問1. 座標平面上の2点A(1, 2), B(4, 6)の距離を求めなさい。
問2. 放物線y=x²上に2点A(−2, 4), B(4, 16)があります。線分ABの長さを求めなさい。
問3. 1辺が8cmの正方形の対角線を求めなさい。
問4. 半径6cmの円Oで、中心Oから弦ABまでの距離が4cmのとき、弦ABの長さを求めなさい。
問5. 縦4cm、横6cm、高さ8cmの直方体の対角線を求めなさい。
■ 解答・解説
問1 解答：5
問2 解答：6√5
問3 解答：8√2cm
問4 解答：4√5cm
問5 解答：2√29cm
第8章 標本調査
■ 基礎授業：標本調査の基本
標本調査：集団の一部を調査して全体の傾向を推測する方法
全数調査：集団全体を調査する方法
用語
- 母集団：調査の対象となる集団全体
- 標本：母集団から取り出した一部
- 無作為に抽出：偏りなく標本を選ぶこと
■ 基礎問題（5問）
問1. 100匹の魚に印をつけて池に戻しました。50匹を捕まえたところ5匹に印がついていました。池にいる魚の数を推定しなさい。
問2. 製品1000個から100個を抽出して検査したところ、5個が不良品でした。製品1000個中の不良品を推定しなさい。
問3. 標本調査と全数調査の違いを説明しなさい。
問4. 生徒500人から50人を抽出して通学時間を調査したところ、平均20分でした。全校生徒の平均通学時間を推定しなさい。
問5. 無作為に抽出することが重要な理由を説明しなさい。
■ 解答・解説
問1 解答：1000匹
問2 解答：50個
問3 解答：標本調査は一部を調査、全数調査は全体を調査。
問4 解答：20分
問5 解答：無作為に抽出しないと標本に偏りが生じ、正確な推測ができないから。
■ 応用問題（5問）
問1. 300匹の魚に印をつけて戻しました。150匹を捕まえたところ12匹に印がついていました。池にいる魚の数を推定しなさい。
問2. 製品5000個から500個を抽出して検査したところ、15個が不良品でした。製品5000個中の不良品を推定しなさい。
問3. 標本の大きさを大きくすると、どのような利点がありますか。
問4. 生徒600人から60人を抽出して通学時間を調査したところ、平均30分でした。全校生徒の平均通学時間を推定しなさい。
問5. 袋に白玉と赤玉が合わせて800個入っています。80個を抽出したところ赤玉が20個含まれていました。袋の中の赤玉を推定しなさい。
■ 解答・解説
問1 解答：3750匹
問2 解答：150個
問3 解答：標本の偏りが小さくなり、推定値の誤差が小さくなります。
問4 解答：30分
問5 解答：200個
PART 3：中大附属 実戦 仮入試（60分・100点満点）
■ 大問1 小問集合（各4点×10＝40点）
問1. 次の計算をしなさい。
−(2/x²y³) × (−(1/2)x²y²)³ ÷ ((1/4)x²y)²
問2. 次の計算をしなさい。
(2√3+√6)/√2 − (3√2−2√3)/√6 − (6√2+√6)/√3
問3. a²c + b³ − b²c − a²b を因数分解しなさい。
問4. 連立方程式 6x−7y−9=0, −5x+2y−4=0 を解きなさい。
問5. 2次方程式 x(3x−4)=x(7x+6) を解きなさい。
問6. 2つの関数 y=ax² と y=−2x−2 について、xの変域がともに −1≦x≦3 のとき、yの変域が一致するような定数aの値を求めなさい。
問7. 8枚のカード1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4から3枚を選び、順に並べて3桁の整数をつくるとき、3の倍数は何個できるか求めなさい。
問8. 円Oにおいて、弧AB:弧BC:弧CD=3:2:4、∠AOD=84°のとき、∠xの大きさを求めなさい。
問9. 底面の半径が2、母線の長さが6の円錐と表面積の等しい球の体積を求めなさい。
問10. 2025以下の自然数で、2025との公約数を1以外にもたないものの個数を求めなさい。
■ 大問2 平面図形（各10点×2＝20点）
問1. 二等辺三角形ABC（AB=AC）がある。辺BC上に点Dをとり、AD=CDとする。∠BADの大きさを求めなさい。
問2. 平行四辺形ABCDで、辺AB上に点E、辺CD上に点Fがあり、AE=CFとする。四角形AECFが平行四辺形であることを証明しなさい。
■ 大問3 空間図形（各10点×2＝20点）
問1. 直方体から円柱の4分の1が欠けた立体がある。この立体の体積を求めなさい。ただし、直方体は縦4cm、横4cm、高さ6cmで、円柱は半径2cm、高さ6cmとする。
問2. 上の立体の表面積を求めなさい。
■ 大問4 関数と図形（各10点×2＝20点）
問1. 放物線 y=ax² と直線 y=bx+c が2点A(−2, 2), B(4, 8)で交わっている。a, b, cの値を求めなさい。
問2. 上の問1で、△OABの面積を求めなさい。ただし、Oは原点とする。
■ 大問5 整数・規則性（各10点×3＝30点）
問1. 1から始まる自然数を、次の規則に従って操作する。数が偶数なら2で割る。数が奇数なら3倍して1を加える。この操作を繰り返すと、どんな自然数から始めても必ず1に到達する（と予想されている）。これを「コラッツの問題」という。3から始めて1に到達するまでに必要な操作の回数を求めなさい。
問2. 上の問題で、1に到達する直前に「2」になる。1に到達する直前の3つの数を、1に近い方から順に書きなさい。
問3. 7回の操作で1に到達するような自然数のうち、最も小さいものを求めなさい。
■ 仮入試 解答・解説
大問1
問1 解答：4y
解説：(−(1/2)x²y²)³=−(1/8)x⁶y⁶、((1/4)x²y)²=(1/16)x⁴y²。−(2/x²y³)×(−(1/8)x⁶y⁶)÷(1/16)x⁴y²=(1/4)x⁴y³×(16/x⁴y²)=4y。
問2 解答：−√3
解説：各項を有理化して整理すると −√3 になります。
問3 解答：(c−b)(a−b)(a+b)
解説：a²(c−b)+b²(b−c)=(c−b)(a²−b²)=(c−b)(a−b)(a+b)。
問4 解答：x=2, y=3
問5 解答：x=0, −5/2
解説：3x²−4x=7x²+6x → 4x²+10x=0 → 2x(2x+5)=0。
問6 解答：a=2
解説：y=−2x−2のyの変域は−8≦y≦0。y=ax²も同じ変域になるにはa=2。
問7 解答：12個
解説：各位の数字の和が3の倍数になる条件を考える。
問8 解答：21°
解説：弧の比から中心角を求め、円周角の定理を使います。
問9 解答：32π/3
解説：円錐の表面積=π×2²+π×2×6=16π。球の表面積=4πr²=16π → r=2。体積=(4/3)π×2³=32π/3。
問10 解答：1080個
解説：2025=3⁴×5²。オイラーのφ関数より2025×(1−1/3)×(1−1/5)=1080。
大問2
問1 解答：40°
解説：AD=CDの二等辺三角形より∠CAD=∠C。△ABCの内角の和より∠B+∠C+∠A=180°。AD=CDより、点Dを中心に考えて角度を整理します。
問2 解答：△ABEと△CDFにおいて、AE=CF（仮定）、AB=CD（平行四辺形の対辺）、∠A=∠C（平行四辺形の対角）。2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△ABE≡△CDF。よってBE=DF。また、AE∥CFなので、1組の対辺が平行で長さが等しい。よって四角形AECFは平行四辺形です。
大問3
問1 解答：96−6π cm³
解説：4×4×6 − (1/4)×π×2²×6 = 96−6π。
問2 解答：128−4π cm²
解説：直方体の表面積2(4×4+4×6+4×6)=128。円柱の側面の1/4=(1/4)×2π×2×6=6π。円柱の底面の1/4×2=(1/4)×π×2²×2=2π。128−6π+2π=128−4π。
大問4
問1 解答：a=1/2, b=1, c=4
解説：A(−2, 2)より2=a×4 → a=1/2。直線y=bx+cにA, Bを代入して連立方程式を解く。
問2 解答：12
解説：直線ABはy=x+4、C(0, 4)。△OAB=△OAC+△OBC=(1/2)×4×2+(1/2)×4×4=4+8=12。
大問5
問1 解答：7回
解説：3→10→5→16→8→4→2→1で7回。
問2 解答：2, 4, 8
解説：1の前は2、2の前は4、4の前は8。
問3 解答：3
解説：1から逆に7回操作した数が3。